Question

Векторы u→ и v→ взаимно перпендикулярны, они одинаковой длины: 5 см. Определи скалярное произведение векторов a→ и d→, которые выражены следующим образом: a→=3⋅u→−4⋅v→, d→=2⋅u→+3⋅v→. a→⋅d→=

Answer 1

a→⋅d→=(3⋅u→−4⋅v→)*(2⋅u→+3⋅v→)=6*u²+9u*v-8u*v-12v²=6*25+0+0-12*25=-6*25=

-150

использовал условие перпендикулярности двух ненулевых векторов⇒их скалярное произведение равно нулю. скалярный квадрат равен квадрату длины, т.к. cos0=1; скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между векторами.

Ответ -150

Answer 2

Для определения скалярного произведения векторов a→ и d→, выразим каждый из этих векторов через векторы u→ и v→:

a→ = 3u→ - 4v→ d→ = 2u→ + 3v→

Теперь вычислим скалярное произведение a→ и d→:

a→ ⋅ d→ = (3u→ - 4v→) ⋅ (2u→ + 3v→)

Раскроем скобки и используем свойства скалярного произведения:

a→ ⋅ d→ = 3u→ ⋅ 2u→ + 3u→ ⋅ 3v→ - 4v→ ⋅ 2u→ - 4v→ ⋅ 3v→

Теперь вычислим каждое из скалярных произведений:

1. 3u→ ⋅ 2u→ = 3 * 2 * |u→|^2 = 6 * (5 см)^2 = 6 * 25 см^2 = 150 см^2
2. 3u→ ⋅ 3v→ = 3 * 3 * |u→| * |v→| * cos(90°) = 0, так как u→ и v→ перпендикулярны и cos(90°) = 0.
3. -4v→ ⋅ 2u→ = -4 * 2 * |v→| * |u→| * cos(90°) = 0, так как u→ и v→ перпендикулярны и cos(90°) = 0.
4. -4v→ ⋋ 3v→ = -4 * 3 * |v→|^2 = -12 * (5 см)^2 = -12 * 25 см^2 = -300 см^2

Теперь сложим все полученные результаты:

a→ ⋅ d→ = 150 см^2 + 0 - 0 - 300 см^2 = -150 см^2

Итак, скалярное произведение векторов a→ и d→ равно -150 квадратным см.