Question

СРОЧНОО ДАМ 40 БАЛЛОВ!!!!!!!!!!! Векторы u→ и v→ взаимно перпендикулярны, они одинаковой длины: 6 см. Определи скалярное произведение векторов a→ и d→, которые выражены следующим образом: a→=3⋅u→−3⋅v→, d→=3⋅u→+2⋅v→. a→⋅d→= .

Answer 1

Ответ: 108

Объяснение:

В решении векторы буду опускать, но они подразумеваются.

Дано:

a = 3u - 3v

d = 3u + 2v

|u| = |v| = 6 (см)

u ⊥ v

Решение:

u ⊥ v ⇒ u · v = 0 (скалярное произведение равно 0)

Рассмотрим скалярное произведение векторов u и v на самих себя:

u · u = |u| · |u| · cos 0 = 6 · 6 · 1 = 36 (по опр. скалярного произв.)

v · v = |v| · |v| · cos 0 = 6 · 6 · 1 = 36 (по опр. скалярного произв.)

Тогда,

a · d =

= (3u - 3v)(3u + 2v) =

= 3(u - v)(3u + 2v) =

= 3(3u · u - 3u · v + 2u · v - 2v · v) =

= 3(3u · u - u · v - 2v · v) =

= 3(3 · 36 - 0 - 2 · 36) =

= 3 · 36 = 108

Answer 2

Для начала найдем вектора \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{d} \) через заданные векторы \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \):

\[ \mathbf{a} = 3 \cdot \mathbf{u} - 3 \cdot \mathbf{v} \]

\[ \mathbf{d} = 3 \cdot \mathbf{u} + 2 \cdot \mathbf{v} \]

Теперь вычислим скалярное произведение \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{d} \):

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} = (3 \cdot \mathbf{u} - 3 \cdot \mathbf{v}) \cdot (3 \cdot \mathbf{u} + 2 \cdot \mathbf{v}) \]

Используем свойства скалярного произведения векторов:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} = 3 \cdot \mathbf{u} \cdot 3 \cdot \mathbf{u} + 3 \cdot \mathbf{u} \cdot 2 \cdot \mathbf{v} - 3 \cdot \mathbf{v} \cdot 3 \cdot \mathbf{u} - 3 \cdot \mathbf{v} \cdot 2 \cdot \mathbf{v} \]

Так как векторы \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) взаимно перпендикулярны, и их длина одинакова, то скалярное произведение упрощается:

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{u} = |\mathbf{u}|^2 \] \[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{v}|^2 \] \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \] (взаимная перпендикулярность)

Подставим это в выражение:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} = 3 \cdot |\mathbf{u}|^2 + 0 - 0 - 3 \cdot |\mathbf{v}|^2 \]

Учитывая, что длина векторов \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) одинакова и равна 6 см, получим:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} = 3 \cdot 6^2 - 3 \cdot 6^2 = 3 \cdot 36 - 3 \cdot 36 = 0 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{d} \) равно 0.