Question

Дан треугольник с вершинами в точках A(–1; –3), B(–5; 1), C(x; 3). Найди значение x, если угол при вершине A – прямой.​

Answer 1

Ответ:

Если угол при вершине А - прямой, то х= 5

Объяснение:

Пусть Δ АВС задан своими вершинами А( -1; - 3) , В( -5; 1 ), С(х; 3) .

Если угол ∠А- прямой, то тогда угол между векторами $\vec{AB}$  и  $\vec{AC}$  равен 90° и тогда скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Найдем координаты векторов по правилу: чтобы найти координаты вектора надо от координат конца вычесть соответствующую координату начала вектора.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$

$x=-5-(-1)=-5+1=-4 ;\\y=1-(-3)=1+3=4 ;\\\vec{AB}(-4;4)$

Найдем координаты вектора $\vec{AC}$

$x= x-(-1)=x+1;\\y=3-(-3)=3+3=6\\\vec{AC}(x+1;6)$

Найдем скалярное произведение векторов как сумму произведений одноименных координат

$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=-4\cdot(x+1)+4\cdot6$

Так как скалярное произведение равно нулю, то составим и решим уравнение

$-4\cdot(x+1)+4\cdot6=0;\\-4\cdot(x+1)+24=0;\\-4\cdot(x+1)=-24;\\x+1=-24:(-4);\\x+1=6;\\x=6-1;\\x=5$

Answer 2

Чтобы угол при вершине A треугольника был прямым, вектор AB должен быть перпендикулярен вектору AC. Для этого векторы AB и AC должны иметь скалярное произведение, равное нулю.

Вектор AB можно найти, вычислив разность координат вершины B и вершины A:

AB = (xB - xA, yB - yA) = (-5 - (-1), 1 - (-3)) = (-4, 4)

Теперь, чтобы найти вектор AC, мы знаем, что его координата по y равна 3, как у вершины C. Таким образом, вектор AC имеет следующие координаты:

AC = (xC - xA, 3 - (-3)) = (xC + 1, 6)

Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов AB и AC:

AB * AC = (-4, 4) * (xC + 1, 6) = (-4(xC + 1) + 4*6)

Чтобы угол при вершине A был прямым, скалярное произведение AB и AC должно быть равно 0:

-4(xC + 1) + 24 = 0

Теперь решим уравнение относительно xC:

-4(xC + 1) + 24 = 0

Умножим обе стороны на -1, чтобы избавиться от минуса перед скобкой:

4(xC + 1) - 24 = 0

4xC + 4 - 24 = 0

4xC - 20 = 0

4xC = 20

xC = 20 / 4

xC = 5

Итак, значение x равно 5, чтобы угол при вершине A был прямым.