Question

СДЕЛАТЬ СКОРОЧЕНУЮ ЗАПИСЬ+ВЫПОЛНИТЬ ПОСТРОЕНИЕ Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его высоте, то этот трехугольник равнобедренный ..​

Answer 1

Ответ:

Центром окружности, описанной вокруг треугольника, является точка пересечения его срединных перпендикуляров. Высота - перпендикуляр к одной из сторон. Если центр окружности принадлежит высоте, то эта высота - срединный перпендикуляр, т.е. его основание делит сторону пополам.

Answer 2

Доказательство:

Пусть у нас есть треугольник ABC, описанный около окружности с центром O. Пусть высота, проведенная из вершины A, пересекает описанную окружность в точке H. Мы хотим доказать, что треугольник ABC равнобедренный.

1. Рассмотрим два треугольника: треугольник ABC и треугольник AHO (где H - точка пересечения высоты с описанной окружностью, а O - центр описанной окружности).

2. Поскольку треугольник ABC описан около окружности, мы знаем, что угол BAC равен углу вписанной дуги BC (углу BOC), где B и C - точки пересечения окружности с сторонами треугольника.

3. В треугольнике AHO, угол AHO также равен углу вписанной дуги BC, так как точка H лежит на описанной окружности.

4. Теперь мы видим, что угол BAC равен углу AHO (BOC = AHO).

5. Также, углы BAO и CAO равны, так как они соответственно равны углам BHO и CHO, так как эти пары углов опираются на одну и ту же дугу BC.

6. Из равенства углов и сторон следует, что треугольникы ABC и AHO подобны (по двум углам и одной стороне).

7. Теперь обратим внимание на высоту треугольника ABC, проведенную из вершины A. Она также будет высотой треугольника AHO, так как высота перпендикулярна основанию и проведена из одной и той же вершины A.

8. Если треугольники подобны и имеют равные высоты, то они равны (по принципу подобных треугольников).

9. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный, так как стороны AB и AC равны (по свойствам равнобедренных треугольников, где боковые стороны равны, если углы, соответственно ими опирающиеся, равны).

Таким образом, если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его высоте, то этот треугольник будет равнобедренным.