Question

100 БАЛЛОВ! В треугольнике ABC угол A равен 55 градусам. Серединый перпендикуляр к стороне AB пересекает сторону AC в точке D. Докажите, что BC > CD.

Answer 1

Выполним розовеньким дополнительное построение. Получились два равных треугольника. Почему они равны? По трём сторонам:

1) общая

2) срединный перпендикуляр делит на равные части

3) срединный перпендикуляр совпадает с медианой

Равны они значит.

Также они образуют один большой равнобедренный треугольник BAD. Он такой в связи с тем, что по доказанному BD and AD равны. Следовательно углы при основании тоже равны, то есть по 55 градусов.

А теперь посмотрим на угол BDС! Он и угол BDA смежные => дают в сумме 180 градусов, как и сумма углов треугольника. Вспоминаем теорему о прилежащем угле, гласящая, что прилежащий угол равен сумме двум не смежных с ним и получаем, что угол BDC равен 110 градусам!

Теперь же вспомним, как взаимосвязаны величины углов и противолежащих сторон. Правильно! Чем больше угол, тем больше противолежащая сторона! Если угол BDC = 110 градусам, то угол DBC, (противолежащие сторонам BC and DC соответственно) меньше 180-110=70 градусов и следовательно противолежащая сторона будет меньше.

Answer 2

Для доказательства, что BC > CD, мы можем воспользоваться теоремой о треугольниках. Давайте рассмотрим треугольник ABC и треугольник ADC. Мы знаем, что угол A равен 55 градусам.

1. Поскольку AD - серединный перпендикуляр к AB, то он делит сторону AB пополам, и, следовательно, AD = DB.

2. Теперь давайте рассмотрим угол ACD. Он равен 90 градусам, так как CD - перпендикуляр к AC.

3. Теперь у нас есть два угла: угол A и угол ACD, и мы знаем, что угол A больше угла ACD (55 градусов > 90 градусов).

Теперь рассмотрим треугольник ADC. У нас есть две стороны и угол между ними. Мы знаем, что в таком случае сторона, противолежащая большему углу, является самой длинной. Таким образом, в треугольнике ADC сторона CD (противолежащая углу ACD) длиннее, чем сторона AC (противолежащая углу A). Из этого следует, что BC > CD.

Таким образом, доказано, что BC больше, чем CD, на основе теоремы о треугольниках и свойств углов в треугольнике ABC.