Question

Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 28 см и острый угол равен 30°. Все углы, которые образуют боковые грани с плоскостью основания, равны 60°. Вычисли высоту и площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

Ответ:

Высота пирамиды SO = 7√3 см.

Площадь боковой поверхности Sб = 784 см².

Объяснение:

Дана пирамида SABCD, в основании - ромб со стороной 28см и углом ∠А = 30°. Боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом 60°  =>  вершина S проецируется в центр основания O (пересечение диагоналей ромба).

Площадь основания (ромба) равна:

S = a²·SinA = 28²·(1/2) = 392 см².

Проведем высоту ромба GH через точку О.

GH = S/a, где S - площадь ромба, а - его сторона.

GH = 392/28 = 14 см.

ОН = GH/2 = 7 см.

В прямоугольном треугольнике SOH ∠SHO = 60°.

Тогда ∠ОSH = 30° по сумме острых углов. Против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, значит гипотенуза SH = 2·OH = 14 см.

По Пифагору SO = √(SH²-OH²) =  √(14²-7²) =  √(21·7) = 7√3 см.

SH - это высота боковой грани DSC (по теореме о трех перпендикулярах - ОН⊥DC => SH⊥DC).  Тогда площадь одной грани пирамиды (треугольника DSC) равна

Sг = (1/2)·SH·DC =(1/2)·14·28 = 196 см². Таких граней 4, значит площадь боковой поверхности пирамиды равна Sб = 4·196 = 784 см².

Или так: площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению полупериметра на высоту грани, то есть Sб = 28·2·14 = 784 см².

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться геометрическими свойствами пирамиды. Для начала найдем высоту пирамиды.

Для определения высоты пирамиды, мы можем разделить ромб на два равнобедренных треугольника, каждый из которых будет иметь угол в 30°. Затем, с помощью тригонометрии, мы можем найти длину высоты одного из этих треугольников.

Длина одной стороны ромба (a) равна 28 см, и у нас есть угол 30°, который противоположен высоте (h). Мы можем использовать тригонометрический тангенс:

tan(30°) = h / (a/2)

tan(30°) = h / (28/2)

tan(30°) = h / 14

Теперь найдем значение h:

h = 14 * tan(30°) h = 14 * 0.5774 h ≈ 8.0836 см

Теперь, когда у нас есть высота пирамиды, давайте найдем площадь боковой поверхности.

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех равнобедренных треугольников. Каждый из них имеет одну сторону равную 28 см, другую сторону равную длине боковой грани пирамиды (l), и угол 60° между ними. Мы можем использовать синус для нахождения длины боковой грани (l):

sin(60°) = (l / 2) / 28

sin(60°) = (l / 2) / 28

l / 2 = 28 * sin(60°)

l = 2 * 28 * sin(60°) l ≈ 48.73 см

Теперь мы можем найти площадь одного из боковых треугольников и умножить на количество таких треугольников (4):

Площадь боковой поверхности = 4 * (1/2 * l * h) Площадь боковой поверхности = 4 * (0.5 * 48.73 см * 8.0836 см) Площадь боковой поверхности ≈ 196.73 см²

Итак, высота пирамиды составляет около 8.0836 см, а площадь боковой поверхности пирамиды составляет около 196.73 квадратных сантиметра.