Question

Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите: Медиану, проведенную к большему катету Отрезки, на которые гипотенуза делится точкой касания с вписанной окружностью.

Answer 1

Ответ:

Медиана, проведённая к большему катету, равна 5√13 ≈ 18,03; гипотенуза делится точкой касания с вписанной окружностью на отрезки длиной 15 и 10.

(см. рисунок - в прикреплении)

Объяснение:

1) Медиана АМ, проведённая к большему катету ВС, делит его на 2 равных отрезка СМ = МВ = 10, и, таким образом, является гипотенузой в прямоугольном треугольнике МСА с катетами МС = 10 и АС = 15. Согласно теореме Пифагора, гипотенуза АМ равна корню квадратному из суммы квадратов катетов:

АМ = √(МС² + АС²) = √(10² + 15²) = √(100 + 225) = √325 = √(25 · 13) = 5√13 ≈ 5 · 3,6056 ≈ 18,03

2) Радиус r окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, рассчитывается по формуле:

r = (a + b - c) : 2,

где а и b - катеты прямоугольного треугольника, с - его гипотенуза.

Гипотенуза АВ прямоугольного Δ АВС равна:

АВ = √(АС² + ВС²) = √(15²+20²) = √(225 + 400) = √625 = 25

Таким образом, радиус окружности, вписанной в Δ АВС, равен:

r = (АС + ВС - АВ) : 2 = (15 + 20 - 25) : 2 = (35 - 25) : 2 = 10 : 2 = 5

3) Вписанная окружность касается катета АС в точке D, а гипотенузы АВ в точке Е. Так как CD = r = 5, то АD = АС - СD = 15 - 5 = 10.

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны.

Следовательно, AD = AE = 10

4) ВЕ = АВ - АЕ = 25 - 10 = 15

Таким образом, гипотенуза АВ делится точкой касания Е с вписанной окружностью на отрезки ВЕ длиной 15 и АЕ длиной 10.

Ответ: медиана, проведённая к большему катету, равна 5√13 ≈ 18,03; гипотенуза делится точкой касания с вписанной окружностью на отрезки длиной 15 и 10.

Answer 2

О, геометрия! Давай решим это.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами 15, 20 и гипотенузой $c$ (давай обозначим её). Мы можем использовать формулу Пифагора для нахождения гипотенузы:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

где $a$ и $b$ - катеты. В данном случае $a = 15$ и $b = 20$.

После того как мы найдём гипотенузу, мы сможем найти медиану, проведённую к большему катету. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, делит её пополам. Таким образом, медиана $m$ равна половине гипотенузы:

$m = \frac{c}{2}$

А теперь перейдем ко второй части вопроса. Точка касания вписанной окружности с треугольником делит каждый отрезок касания на две части. По теореме о касательной и хорде, эти отрезки равны. Таким образом, гипотенуза делится этой точкой касания на два отрезка, $x$ и $y$. Мы можем использовать следующие формулы:

$x = b - h$ $y = a - h$

где $h$ - высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу. Высоту можно найти, используя подобие треугольников:

$\frac{h}{a} = \frac{b}{c}$

Давай начнём с вычисления гипотенузы.