Question

Даны вершины треугольника A (-1; 2; 0), B (3; 2; -2), C (-5; 2; 4). а) Найдите координаты векторов CA, CB. б) Найдите косинус угла АСВ.​

Answer 1

..............................

Answer 2

Давайте решим данную задачу.

а) Чтобы найти координаты векторов CA и CB, нужно вычислить разности координат соответствующих вершин.

1. Вектор CA: Вектор CA можно найти, вычтя координаты вершины C из координат вершины A. $\vec{CA} = \vec{A} - \vec{C} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$

2. Вектор CB: Вектор CB можно найти, вычтя координаты вершины C из координат вершины B. $\vec{CB} = \vec{B} - \vec{C} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}$

б) Чтобы найти косинус угла между векторами AC и BC, воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами: $\cos(\theta) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{\|\vec{CA}\| \|\vec{CB}\|}$

где $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$ - скалярное произведение векторов, а $\|\vec{CA}\|$ и $\|\vec{CB}\|$ - их длины.

1. Вычислим скалярное произведение векторов CA и CB: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (4)(8) + (0)(0) + (-4)(-6) = 32 + 0 + 24 = 56$

2. Вычислим длины векторов CA и CB: $\|\vec{CA}\| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 0 + 16} = \sqrt{32} = 4$ $\|\vec{CB}\| = \sqrt{8^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 0 + 36} = \sqrt{100} = 10$