Question

СРОЧНО! !! ПЛАНОМЕТРИЯ.. В кубе ABCDA1B1C1D1: точки M, N, L, K лежат соответственно на ребрах AA1, DD1, D1C1 и A1B1, причем A1M:MA=D1N:ND=3:2, A1K:KB1=D1L:LC1=4:1. Найдите площадь KLNM, если AB=3. ​

Answer 1

A1M=35AA1=35DD1=D1N; A1M||D1N, т.к. AA1||DD1 ⇒ MA1D1N – параллелограмм ⇒ MN||A1D1, MN=A1D1. Аналогичным образом получается, что KL||A1D1 и KL=A1D1 ⇒ KLNM – параллелограмм, а т.к. A1D1 перпендикулярна граням AA1B1B и DD1C1C, то и MN и KL перпендикулярны этим же граням ⇒ KLNM – прямоугольник. Чтобы найти площадь этого прямоугольника, найдем сперва сторону MK из прямоугольного треугольника △MA1K, используя теорему Пифагора :

смотри втрое фото.

Answer 2

Для нахождения площади четырехугольника KLNM в кубе ABCDA1B1C1D1, мы можем воспользоваться принципом подобия треугольников.

Для начала определим длины отрезков AM, ND, AK и DL. Поскольку A1M:MA = 3:2 и A1K:KB1 = 4:1, длины этих отрезков можно выразить следующим образом:

AM = (2/3) * A1M AK = (4/5) * A1K

Теперь рассмотрим треугольники A1MD1 и A1KL1. Они подобны друг другу, так как соотношения их сторон одинаковы:

A1M:MD1 = 3:2 A1K:KL1 = 4:1

Теперь мы можем определить длины отрезков MD1 и KL1:

MD1 = (2/3) * A1M KL1 = (1/4) * A1K

Итак, теперь мы знаем длины отрезков AM, AK, MD1 и KL1. Мы также знаем, что AB = 3.

Теперь рассмотрим треугольник AMN и треугольник AKB1. Они подобны, так как оба подобия заданы соотношением сторон:

AM:AK = MN:KB1

Подставляя значения AM и AK:

(2/3) * A1M / [(4/5) * A1K] = MN / 3

Упростим выражение:

(10/12) * (A1M / A1K) = MN / 3

(5/6) * (A1M / A1K) = MN / 3

Теперь, чтобы найти MN, мы можем умножить обе стороны на 3:

MN = (5/6) * (A1M / A1K) * 3

MN = (5/6) * (A1M / A1K) * 3

MN = 5/2 * (A1M / A1K)

Аналогично, рассмотрим треугольник D1NL и треугольник C1L1K. Они также подобны, и мы можем использовать соотношение сторон:

ND1:KL1 = NL:KC1

Подставляя значения ND1 и KL1:

(2/3) * A1M / [(1/4) * A1K] = NL / 3

Упростим выражение:

(8/3) * (A1M / A1K) = NL / 3

(8/3) * (A1M / A1K) = NL / 3

Теперь, чтобы найти NL, мы можем умножить обе стороны на 3:

NL = (8/3) * (A1M / A1K) * 3

NL = (8/3) * (A1M / A1K) * 3

NL = 8 * (A1M / A1K)

Теперь у нас есть длины MN и NL. Давайте найдем площадь четырехугольника KLNM, используя формулу для площади четырехугольника:

Площадь KLNM = 1/2 * MN * NL

Подставляем значения MN и NL:

Площадь KLNM = 1/2 * (5/2 * (A1M / A1K)) * (8 * (A1M / A1K))

Площадь KLNM = 10 * (A1M / A1K) * (8 * (A1M / A1K))

Площадь KLNM = 80 * (A1M / A1K)^2

Теперь нам нужно выразить отношение A1M / A1K. Мы знаем, что A1M:MA = 3:2 и A1K:KB1 = 4:1. Таким образом, отношение A1M / A1K можно выразить как:

A1M / A1K = (3/2) / (4/1) = 3/8

Теперь подставим это значение в формулу для площади KLNM:

Площадь KLNM = 80 * (3/8)^2 = 80 * (9/64) = 90/4 = 22.5

Итак, площадь четырехугольника KLNM равна 22.5, если AB = 3.