Question

у трикутнику АBC зовнішні кути при вершинах А і С рівні. Знайдіть довжину бісектриси BD, якщо периметр трикутника АВС =36дм, а периметр трикутника АВD=24дм

Answer 1

Ответ 12 дм, так как 24*2-36=12, такое мы можем сделать из-за данных условий

Answer 2

Давайте розглянемо трикутник АВС та трикутник АВD.

Нехай довжини сторін трикутника АВС будуть a, b та c, де a, b та c — довжини сторін, що починаються від вершини А та перетинаються в точках D, B та C відповідно.

Також, нехай довжини сторін трикутника АВD будуть p, q та r, де p, q та r — довжини сторін, що починаються від вершини А та перетинаються в точках B, D та C відповідно.

За умовою задачі, маємо:

1. Периметр трикутника АВС: a + b + c = 36 дм.
2. Периметр трикутника АВD: p + q + r = 24 дм.

Так як зовнішні кути при вершинах А і С рівні, то ми маємо: $p = c$ та $q = a.$

Тепер ми можемо виразити a, b, c через p, q та r: $a = q$ $b = r$ $c = p$

Отже, периметр трикутника АВС виражається через p, q та r: $p + q + r = a + b + c$ $p + q + r = q + r + p$ $p + q + r = p + q + r.$

Отже, отримали, що умова виконується.

Тепер розглянемо бісектрису BD трикутника АВD. Давайте позначимо довжину бісектриси BD як x.

Знаємо, що за властивістю бісектриси у трикутнику: $\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}.$

Отже, $\frac{x}{p} = \frac{x}{a + c}.$

Тепер можемо виразити a + c через p, q та r: $a + c = q + r.$

Отже, отримали рівняння: $\frac{x}{p} = \frac{x}{q + r}.$

Розв'яжемо це рівняння відносно x: $x = \frac{pq + pr}{q + r}.$

Ми знаємо, що: $p + q + r = 24$ (з умови задачі).

Тепер підставимо це у вираз для x: $x = \frac{pq + pr}{q + r} = \frac{pq + pr}{24 - p}.$

Отже, ми отримали вираз для довжини бісектриси BD через сторони та периметр трикутника АВD.