Question

В окружности с центром в точке О перпендикулярно хорде MN проведен диаметр EF, P – точка их пересечения, PE > PF, EN = 14 см. Найдите периметр треугольника EMN, если угол РNE на 30° больше угла РEN. ​

Answer 1

Ответ:

Периметр Δ EMN = 14 см

Объяснение:

Обозначим ∠РEN = x

⇒ ∠РNE = x+30

Так как EF ⊥ MN  ⇒  ∠EPN = 90°

Рассмотрим Δ EPN:

Зная что сумма углов любого треугольника = 180°

⇒ ∠РEN + ∠РNE + ∠EPN = 180

Подставляем значения, получаем уравнение:

x + x + 30 + 90 = 180

2x = 180 - 90 - 30

2x = 60

x = 60/2

x = 30°  ⇒   ∠РEN = 30°

Зная что ∠РNE на 30° больше ∠ РEN

⇒  ∠РNE = 30° + 30° = 60°

Т.к. диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

Отсюда следует, что MP=PN

Рассмотрим Δ EPN и Δ EPM:

У них MP=PN, ∠EPN = ∠EPM = 90°, а EP общая ⇒ эти треугольники равны ⇒ у них все стороны и углы соответственно равны.

⇒ ∠EMP = ∠ENP = 60°

Рассмотрим Δ EMN:

У него ∠EMN = ∠ENM = 60°

⇒  ∠MEN = 180° - (60° + 60°) = 60°

А треугольник у которого все углы равны - называется равносторонним ⇒ EN = MN = ME = 14 см

Зная длины всех сторон треугольника - вычисляем периметр:

P = EN + MN + ME = 14 + 14 + 14 = 42 см

Answer 2

Для начала давайте нарисуем схему ситуации. У нас есть окружность с центром в точке O, диаметр EF и хорда MN, для которой проведен перпендикуляр к ней из точки O, и эти перпендикуляры пересекаются в точке P.

Сначала определим, что угол PNE больше угла PEN на 30°. Обозначим угол PEN как α. Тогда угол PNE будет равен α + 30°.

Теперь, поскольку NP является радиусом окружности, он равен половине диаметра EF. Пусть диаметр EF равен D, тогда NP = 0.5 * D.

Также, у нас есть информация о том, что EN = 14 см.

Теперь мы можем использовать тригонометрию для нахождения других сторон треугольника EMN.

1. Треугольник PEN: В нем у нас есть известная сторона EN (14 см), угол PEN (α) и угол PNE (α + 30°). Мы можем использовать тригонометрию для нахождения PN:

   PN = EN * tan(α) (из тангенса угла)

2. Треугольник PEN: Так как PN = 0.5 * D (половина диаметра), мы можем использовать это уравнение для нахождения PN.

Теперь у нас есть значение PN, и мы можем найти MN, так как MN = 2 * PN (поскольку MN - это хорда, которая равна двум радиусам).

И, наконец, мы можем найти периметр треугольника EMN:

Периметр EMN = EN + MN + EM

Теперь давайте выпишем все шаги:

1. Найдите α, угол PEN = α.
2. Найдите PN с использованием тригонометрии: PN = EN * tan(α).
3. Найдите MN: MN = 2 * PN.
4. Найдите периметр EMN: Периметр EMN = EN + MN + EM.

Зная все эти значения, вы сможете найти периметр треугольника EMN.