Question

В треугольнике ABC на стороне AB выбрали точку D и провели DE II BC (E - точка пересечения DE и AC). Общая хорда окружностей (ABE) и (ACD) пересекает BC в точке G. Доказать, что положение точки G не зависит от выбора точки D. Для особо продвинутых - найти отношение BG/GC.

Answer 1

X, Y - центры окружностей ACD и ABE; O - центр окружности ABC

△XTO~△ABC (∠A =внешнему ∠T =∠X; проекции сторон XT и XO пропорциональны сторонам AB и AC)

Параллелограмм OXTY составлен из двух треугольников, подобных ABC => угол между его диагоналями, то есть между линией центров XY и AO не зависит от выбора точки D.

Общая хорда AH перпендикулярна линии центров => угол хорды AH и положение точки G не зависят от выбора точки D.

Пусть точки D и E совпадают в точке A.

Тогда окружности касаются сторон AB и AC.

∠ABH=∠CAH, ∠ACH=∠BAH => △AHB~△CHA

высоты из H пропорциональны сторонам AB и AС

=> Н лежит на симедиане к основанию BC.

По свойству симедианы BG/GC =(AB/AC)^2

Answer 2

Для начала, давайте докажем, что положение точки G не зависит от выбора точки D.

Пусть D1 и D2 - две разные точки на стороне AB треугольника ABC, и пусть E1 и E2 - соответствующие точки пересечения DE1 и DE2 с AC. Обозначим точку пересечения хорд окружностей (ABE1) и (ACD1) как G1, а точку пересечения хорд окружностей (ABE2) и (ACD2) как G2.

Поскольку DE1 || BC и DE2 || BC, у нас есть два подобных треугольника: ADE1 подобен ADE2. Это происходит потому, что углы между параллельными линиями равны.

Теперь давайте рассмотрим хорды AB и AC в окружностях (ABE1) и (ACD1). Поскольку треугольник ADE1 подобен треугольнику ADE2, соответствующие углы E1AG1 и E2AG2 равны. Поэтому хорды, опирающиеся на эти углы, равны. То же самое верно и для хорд AB и AC в окружностях (ABE2) и (ACD2).

Таким образом, длины хорд AB и AC в обоих окружностях одинаковы, независимо от выбора точек D1 и D2. Это означает, что точки G1 и G2 совпадают, и положение точки G не зависит от выбора точки D.

Чтобы найти отношение BG/GC, можно использовать теорему о хордах. Отношение BG/GC равно отношению квадратов длин соответствующих хорд. Так как точки G1 и G2 совпадают, то и отношение BG1/G1C равно отношению BG2/G2C, и оно не зависит от выбора точки D.