Question

30 БАЛОВ !!!!! Вокруг прямоугольного треугольника с катетами AC=6 и BC=8 описана окружность. Точка E Середина малой дуги AC, точка F середина малой дуги CB, и G середина дуги AB, которая не включает C. Найти площадь треугольника EGF.

Answer 1

Пусть ∠ABC = α; ∠BAC = β; ∠ACB = γ = π/2;

Тогда углы треугольника EGF в общем случае

∠EGF = α/2 + β/2; ∠FEG = γ/2 + β/2; ∠EFG = γ/2 + α/2;

У треугольников ABC  и EFG общая описанная окружность диаметром 2R = 10; можно выразить стороны EFG через 2R и углы по теореме синусов и подставить в известную формулу площади (вида absin(φ)/2)

S = EG*FG*sin(∠EGF)/2 = (2Rsin(∠EFG))*(2Rsin(∠FEG))*sin(∠EGF)/2;

S = 2R^2*sin(α/2 + β/2)*sin(α/2 + γ/2)*sin(γ/2 + β/2); это общая формула.

Теперь с учетом того, что γ = π/2; β = π/2 - α; а также sin(α) = 3/5; cos(α)=4/5; 2R = 10; легко получить

S = 2R^2*sin(π/4)*sin(π/2 - α/2)*sin(π/4 + α/2) = 2R^2*(√2/2)^2*(sin(α) + cos(α) + 1) = 30;

Answer 2

Для начала найдем радиус описанной окружности. Он равен половине гипотенузы прямоугольного треугольника:

$r = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt{AC^2 + BC^2}}}{2} = \frac{{\sqrt{6^2 + 8^2}}}{2} = \frac{{\sqrt{100}}}{2} = 5.$

Теперь найдем площадь треугольника $EGF$. Этот треугольник является прямоугольным, так как его вершина $G$ является серединой гипотенузы треугольника $ABC$. Пусть $H$ - середина $AC$.

Так как $E$ и $F$ - середины дуг, то углы $\angle AEC$ и $\angle BFC$ прямые. Также, угол $\angle AHC$ также прямой.

Теперь, поскольку $AH = HC = 3$ (половина стороны $AC$), то треугольник $AHC$ равнобедренный.

Так как углы $\angle AHC$ и $\angle HAC$ равны, и углы треугольника суммируются до $180^\circ$, то $\angle HAC = \angle AHC = 45^\circ$.

Теперь мы видим, что треугольник $AHE$ также равнобедренный, так как $\angle HAE = \angle AHE = 45^\circ$ (угол между $AH$ и $AE$).

Таким образом, сторона $AE$ равна стороне $HE$ и равна $\frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$. Аналогично, сторона $BF$ также равна $3\sqrt{2}$.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $EGF$:

$S_{EGF} = \frac{1}{2} \cdot EG \cdot FG.$

Так как $EG = AE = 3\sqrt{2}$ и $FG = BF = 3\sqrt{2}$, подставляем значения:

$S_{EGF} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9.$

Итак, площадь треугольника $EGF$ равна $9$.