Question

Вокруг прямоугольного треугольника с катетами AC=6 и BC=8 описана окружность. Точка E Середина малой дуги AC, точка F середина малой дуги CB, и G середина дуги AB, которая не включает C. Найти площадь треугольника EGF.

Answer 1

Ответ:

30

Объяснение:

Answer 2

Для начала нарисуем прямоугольный треугольник ABC и окружность, описанную вокруг него. Далее найдем точки E, F и G, как указано в вопросе.

Прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 6 и BC = 8 выглядит так:

cssCopy code
   A
   |\
   | \
  6|  \ 8
   |   \
   |____\ B
    6

Сначала найдем радиус описанной окружности. Он равен половине гипотенузы треугольника ABC. Гипотенуза AB вычисляется по теореме Пифагора:

AB² = AC² + BC² AB² = 6² + 8² AB² = 36 + 64 AB² = 100 AB = 10

Радиус окружности равен половине гипотенузы, то есть 10/2 = 5.

Теперь найдем точку E, которая является серединой малой дуги AC. Поскольку радиус окружности равен 5, то точка E находится на расстоянии 5 единиц от середины гипотенузы AB. То есть AE = CE = 5.

Точно так же найдем точку F, которая является серединой малой дуги CB. Точка F находится на расстоянии 5 единиц от середины гипотенузы AB. То есть BF = CF = 5.

Теперь найдем точку G, которая является серединой дуги AB, исключая точку C. Точка G находится на гипотенузе AB и делит ее пополам, так как это середина. То есть AG = GB = AB/2 = 10/2 = 5.

Треугольник EGF образован этими тремя точками. Он равнобедренный, так как все его стороны равны 5 (EG = FG = 5), и угол EGF равен углу в центре окружности, соответствующему малой дуге AC. Угол в центре окружности вдвое больше угла, образованного хордой AC и радиусом, и он равен углу CAB треугольника ABC. Таким образом, угол EGF равен углу CAB.

Площадь треугольника EGF можно вычислить, используя формулу для площади равнобедренного треугольника:

Площадь EGF = (1/2) * EG * FG * sin(EGF)

где sin(EGF) - синус угла EGF.

У нас уже есть EG и FG (оба равны 5), и мы знаем, что угол EGF равен углу CAB, который можно найти с помощью тригонометрических функций. Так как у нас есть два катета AC и BC, мы можем использовать тангенс угла CAB:

tan(CAB) = AC / BC tan(CAB) = 6 / 8 tan(CAB) = 3/4

Теперь найдем угол CAB, используя арктангенс (обратную функцию тангенса):

CAB = arctan(3/4)

Теперь мы можем найти синус угла EGF:

sin(EGF) = sin(CAB)

Теперь мы можем рассчитать площадь треугольника EGF:

Площадь EGF = (1/2) * EG * FG * sin(EGF) Площадь EGF = (1/2) * 5 * 5 * sin(CAB) Площадь EGF = 25 * sin(CAB)

Теперь подставим значение sin(CAB), которое мы нашли ранее:

Площадь EGF = 25 * sin(arctan(3/4))

Вычислите значение sin(arctan(3/4)), и затем умножьте его на 25, чтобы найти площадь треугольника EGF.