Question

Две окружности касаются внутренним образом в точке S. Хорда AB внешней окружности касается внутренней окружности в точке T. Прямая ST пересекает внешнюю окружность в точках S и C. Найдите площадь четырёхугольника SABC, если известно, что CA=5, CB параллельна AS, а радиусы окружностей относятся как 11:16.

Answer 1

По лемме Архимеда:  BST = CSA , тогда  AB и CS  биссектрисы углов CAS и BSA соответственно, по условию BS || AS и  AB касательная к меньшей окружности, тогда  TSD =  ATD = CAB то есть TD || AC.

ABCS  равнобедренная трапеция и AC=BC=BS = 5. (опираются на одни и те же вписанные углы)

Пусть O1 , O2 центры большей и меньших окружностей и r1, r2 их радиусы соответственно,  очевидно что O1,O2,S лежат на одной прямой, из-за параллельности TD || AC то есть CAS =  TDS получается   CO1S =  TO2S = 2*CAS  ,  то есть треугольники  TO2S ,  CO1S подобны, откуда  ST/SC =  SO2/SO1 = r2/r1 = 11/16

SC/ST = 16/11  

CT/ST = 5/11  

так как AT биссектриса, то по теореме о биссектрисе AC/AS = CT/ST=5/11

AC=5,  AS=11

получаем равнобедренную трапецию  ABCS все стороны известны

опустим высоту AH из вершины C на AS,  которая равна  h,  тогда AH=(11-5)/2=3

 CH=√(5^2-3^2) = 4

S(ABCS) = (5+11)*4/2 = 32

 

Answer 2

Для нахождения площади четырёхугольника SABC мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдите радиусы обеих окружностей. Пусть радиус внутренней окружности равен 11x, а радиус внешней окружности равен 16x, где x - некоторый коэффициент.

2. Так как AB касается внутренней окружности в точке T, то от центра внутренней окружности (позже обозначим как O1) проведем перпендикуляр к AB, который пересекается с AB в точке M.

3. Поскольку AB параллельна BC, треугольник CTS подобен треугольнику BMT, поскольку у них соответственные углы равны. Поэтому мы можем записать отношение длин сторон:

   CT / CS = BT / BM

4. Так как BM является радиусом внутренней окружности, то BM = 11x.

5. Мы знаем, что CT = 5 (CA). Таким образом, мы можем решить уравнение для CS:

   5 / CS = 11x / 11x CS = 5

6. Теперь мы можем найти площадь треугольника CTS, используя формулу для площади треугольника: A = 0.5 * a * b * sin(C), где a и b - длины сторон, а C - угол между ними.

   Угол CST - это прямой угол, поэтому sin(CST) = 1. Таким образом, площадь треугольника CTS равна:

   A_CTS = 0.5 * CT * CS * sin(CST) = 0.5 * 5 * 5 * 1 = 12.5 квадратных единиц.

7. Теперь у нас есть площадь треугольника CTS. Чтобы найти площадь четырёхугольника SABC, нам нужно вычесть площадь треугольника CTS из суммы площадей треугольников CST и TAS.

8. Площадь треугольника CST мы уже нашли (12.5 квадратных единиц).

9. Площадь треугольника TAS можно найти так:

   A_TAS = 0.5 * AS * ST * sin(САS)

   Угол CAS - это прямой угол, поэтому sin(САS) = 1. Таким образом, площадь треугольника TAS равна:

   A_TAS = 0.5 * AS * ST * 1

   Так как ST = CT = 5 и AB параллельна CS, то AS = SB = 11x + 5.

   Теперь мы можем найти площадь треугольника TAS:

   A_TAS = 0.5 * (11x + 5) * 5 * 1 = 27.5x + 12.5

10. Теперь мы можем найти площадь четырёхугольника SABC:

A_SABC = A_TAS + A_CTS - A_CAS

A_SABC = (27.5x + 12.5) + 12.5 - 12.5x = 15x + 25 квадратных единиц.

Теперь у нас есть выражение для площади четырёхугольника SABC в зависимости от коэффициента x. Чтобы найти конкретное значение площади, вам нужно знать значение x.