Question

Пожалуйста, помогите) Точки K,L,M ділять медіану трикутника АВС на 4 рівні частини (ВК=КL=LM=MD). AM перетинає ВС у точці F. Знайдіть CF:FB​

Answer 1

По теореме Менелая:

$\dfrac{CF}{FB}\cdot\dfrac{BM}{MD}\cdot\dfrac{DA}{AC}=1$

Поскольку BD - медиана, то AD = DC.

$\dfrac{CF}{FB}\cdot\dfrac{3MD}{MD}\cdot\dfrac{DA}{2DA}=1$ откуда получаем $CF:FB=2:3$

Ответ: CF : FB = 2 : 3.

Answer 2

Для знаходження співвідношення CF до FB спростимо завдання крок за кроком.

1. За умовою, точки K, L, M ділять медіану трикутника ABC на 4 рівні частини, тобто ВК = КL = LM = MD. Позначимо довжину медіани AM як 4x, тоді AK = KL = LM = MD = x.

2. Медіана трикутника ділиться точкою F на дві частини в співвідношенні 2:1. Тобто, AF = 2x і FM = 2x.

3. Тепер розглянемо трикутник AMF. Знаючи значення AF і FM, ми можемо знайти довжину AM, використовуючи теорему Піфагора:

   AM^2 = AF^2 + FM^2 AM^2 = (2x)^2 + (2x)^2 AM^2 = 4x^2 + 4x^2 AM^2 = 8x^2 AM = 2x√2

4. Тепер ми знаємо довжини AM та MB. Позначимо довжину MB як y.

5. Оскільки AMF і BCF подібні, співвідношення довжин сторін буде таким:

   (CF / FB) = (AM / MB)

6. Підставимо відомі значення:

   (CF / FB) = (2x√2 / y)

7. Тепер нам потрібно знайти значення y. Знову використаємо теорему Піфагора в трикутнику ABC:

   AB^2 = AC^2 + BC^2 (2x)^2 = (x + y)^2 + (2y)^2 4x^2 = x^2 + 2xy + y^2 + 4y^2 4x^2 - x^2 = 6xy + 5y^2 3x^2 = 6xy + 5y^2 3x^2 - 6xy = 5y^2 3x^2 - 6xy - 5y^2 = 0

8. Тепер ми маємо квадратне рівняння відносно y. Розв'яжемо його:

   3x^2 - 6xy - 5y^2 = 0

   3x^2 - 6xy + 5y^2 = 0

   (3x - 5y)(x + y) = 0

9. Розв'язуємо це рівняння для y:

   3x - 5y = 0 5y = 3x y = (3/5)x

10. Тепер підставимо це значення в вираз для CF/FB:

(CF / FB) = (2x√2 / (3/5)x)

11. Спростимо вираз:

(CF / FB) = (2√2 / (3/5))

12. Домножимо зверху і знизу на 5, щоб позбутися дробів:

(CF / FB) = (2√2 * 5 / 3)

13. Знаходимо значення:

(CF / FB) = (10√2 / 3)

Таким чином, CF:FB = 10√2:3.