Question

Определите косинус угла C в треугольнике ABC, если даны координаты его вершин A(15;2), B(-4; 6) и C(8; 1)

Answer 1

Ответ:

$A(15;2)\ ,\ \ B(-4;6)\ ,\ \ C(8;1)\\\\\overline{CA}=(7;1)\ \ ,\ \ \ \overline{CB}=(12;-5)\\\\|\overline{CA}|=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2\\\\|\overline{CB}|=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\\\\(\overline{CA}\cdot \overline{CB})=7\cdot 12-1\cdot 5=79\\\\\\cos\varphi =\dfrac{79}{5\sqrt2\cdot 13}=\dfrac{79}{65\sqrt2}\approx 0,859\ \ ,\ \ \ \varphi =arccos\, 0,859\approx 31^\circ$

Answer 2

Чтобы найти косинус угла C в треугольнике ABC, сначала нужно найти длины сторон треугольника и затем использовать косинусное правило. Длины сторон можно найти, используя формулу для расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

Для стороны AB: AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) AB = √((-4 - 15)^2 + (6 - 2)^2) AB = √((-19)^2 + 4^2) AB = √(361 + 16) AB = √377

Для стороны BC: BC = √((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2) BC = √((8 - (-4))^2 + (1 - 6)^2) BC = √((8 + 4)^2 + (1 + 6)^2) BC = √(12^2 + 7^2) BC = √(144 + 49) BC = √193

Теперь мы можем использовать косинусное правило:

cos(C) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)

где AC - сторона треугольника против угла C.

AC можно найти, используя расстояние между точками A и C:

AC = √((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2) AC = √((8 - 15)^2 + (1 - 2)^2) AC = √((-7)^2 + (-1)^2) AC = √(49 + 1) AC = √50

Теперь мы можем вычислить косинус угла C:

cos(C) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC) cos(C) = (√377^2 + √193^2 - √50^2) / (2 * √377 * √193) cos(C) = (141859 + 37249 - 2500) / (2 * √377 * √193) cos(C) = 179608 / (2 * √377 * √193)

Теперь можно упростить выражение:

cos(C) = 89804 / (√377 * √193)

И это есть значение косинуса угла C в треугольнике ABC.