Question

Даны точки А(5,-2), В(3,0), С(-4,5) и D(-6,7). Определите равны ли векторы АС и BD

Answer 1

Даны точки А(5,-2), В(3,0), С(-4,5) и D(-6,7). Определите равны ли векторы АС и BD

Решение . Равные вектора 1) имеют равные длины ,2) соноправлены .

Найдем длины векторов

  $\vec{AB} (3-5 ;0+2) , \vec{AB} (-2 ; 2)$  .Тогда  $|\vec{AB}|$ =√( (-2)²+2²)=2√2

$\vec{CD} (-6+4 ; 7-5 ) , \vec{CD} (-2 ; 2)$ .Тогда   $|\vec{CD}|$ =√( (-2)²+2²)=2√2.

У одинаково направленных векторов соответственные координаты пропорциональны и имеют одинаковые знаки (либо равны нулю) :

-2:(-2)=2:2 верно.

Вывод $\vec{AB} = \vec{CD}$

Answer 2

Для определения, равны ли векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\), нужно вычислить эти векторы и сравнить их координаты.

Вектор \(\overrightarrow{AC}\) можно найти вычитанием координат точки \(A\) из координат точки \(C\):

\[ \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (-4 - 5, 5 - (-2)) = (-9, 7). \]

Теперь найдем вектор \(\overrightarrow{BD}\), вычитая координаты точки \(B\) из координат точки \(D\):

\[ \overrightarrow{BD} = (x_D - x_B, y_D - y_B) = (-6 - 3, 7 - 0) = (-9, 7). \]

Таким образом, векторы \(\overrightarrow{AC} = (-9, 7)\) и \(\overrightarrow{BD} = (-9, 7)\) имеют одинаковые координаты. Следовательно, векторы равны.