Question

Через концы отрезка AB, который пересекает плоскость α в точке C, проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α в точках A' и B' соответственно. а) докажите, что ΔAA'C ~ ΔBB'C (20 баллов); б) найдите CA' и CB', если AA' : BB'=3 : 8, A' B'= 33 см (15 баллов).

Answer 1

Ответ:

CA'=9, CB'=24

Объяснение:

Доказательство:

1) рассмотрим ΔAA'C и ΔBB'C:

∠A'CА = ∠B'CВ (как вертикальные)

∠АA'C = ∠ ВB'C (НКУ (накрест лежащие углы) при а ll b при сек. АВ)

Следовательно, ΔAA'C ~ ΔBB'C ( по 2 углам )

                                                                                                            ЧТД

Решение:

2) т.к. ΔAA'C ~ ΔBB'C (из 1), то

$\frac{CA'}{CB'} = \frac{AA'}{BB'}$ $=\frac{3}{8}$

Пусть АA' = 3х, а BB'=8х, тогда

3х + 8х = 33 (т.к. A'C + B'C = A'B')

11 х = 33

х = 3 - 1 часть

3) СA' = 3 · 3 = 9

4) СB' = 3 · 8 = 24

P.s.: вторая часть вопроса может быть не совсем верной.

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу подробно.

а) Докажем, что треугольники ΔAA'C и ΔBB'C подобны. Для этого нам понадобится теорема о параллельных линиях и их пересечении плоскостями.

1. Известно, что прямые AA' и BB' параллельны, так как они пересекают плоскость α. Поэтому угол A'CA равен углу B'CB (внутренний угол между параллельными линиями и плоскостью равен углу между пересекающимися линиями и плоскостью).

2. Также известно, что угол A'AC равен углу B'BC, так как они оба прямые углы (90 градусов), так как AA' и BB' перпендикулярны к плоскости α.

3. Следовательно, угол A'CA равен углу B'CB, а угол A'AC равен углу B'BC. Это означает, что треугольники ΔAA'C и ΔBB'C подобны по двум углам.

Таким образом, ΔAA'C ~ ΔBB'C.

б) Теперь найдем CA' и CB' с учетом того, что отношение длин сторон AA' к BB' равно 3:8 и A'B' = 33 см.

Для нахождения CA' и CB' используем подобие треугольников:

Отношение сторон ΔAA'C к ΔBB'C равно отношению сторон AA' к BB', то есть 3:8. Поэтому:

CA' / CB' = 3 / 8

Теперь у нас есть система уравнений:

1. CA' / CB' = 3 / 8 2. CA' + CB' = A'B' = 33 см

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки. Для этого выразим одну из переменных через другую из уравнения (1) и подставим это выражение в уравнение (2):

CA' = (3 / 8) * CB'

Теперь подставим это выражение в уравнение (2):

(3 / 8) * CB' + CB' = 33

Умножим обе стороны на 8, чтобы избавиться от дроби:

3 * CB' + 8 * CB' = 264

11 * CB' = 264

Теперь разделим обе стороны на 11, чтобы найти значение CB':

CB' = 264 / 11 ≈ 24 см

Теперь, зная значение CB', найдем CA' из уравнения (1):

CA' = (3 / 8) * CB' = (3 / 8) * 24 см = 9 см

Итак, CA' = 9 см и CB' = 24 см.