Question

На стороне AC треугольника АВС отмечена точка D. Докажите подобие треугольников ABC и BDC, если ABC= BDC Найдите сторону AС если 3AB = 4BD и BC = 9 см. ​

Answer 1

Ответ:

∠ABD = ∠ВСА по условию,

угол при вершине А общий для треугольников ABC и ADB, значит

ΔABC и ΔADB подобны по двум углам.

AB : AD = BC : BD = AC : AB

Из первой и последней частей пропорции имеем:

3 : AD = 6 : 3

AD = 3 · 3 / 6 = 3/2 = 1,5 см

DC = AC- AD = 6 - 1,5 = 4,5 см

Answer 2

Чтобы доказать подобие треугольников ABC и BDC, мы должны убедиться, что соответствующие углы равны, и соответствующие стороны пропорциональны. У нас уже есть равные углы ABC и BDC (они обозначены как ABC и BDC), так что давайте проверим пропорциональность сторон.

Обозначим стороны треугольников следующим образом:

- AB = a (сторона треугольника ABC) - BC = b (сторона треугольника ABC) - BD = c (сторона треугольника BDC) - CD = d (сторона треугольника BDC)

Из условия 3AB = 4BD мы можем выразить сторону BD через сторону AB: BD = (3/4)AB.

Также у нас дано BC = 9 см.

Теперь мы можем выразить сторону CD через сторону BD и BC: CD = BC - BD = 9 - (3/4)AB.

Теперь у нас есть соотношения для сторон треугольника ABC и BDC:

1. AB = a 2. BC = b 3. BD = (3/4)a 4. CD = 9 - (3/4)a

Теперь проверим пропорциональность сторон:

\(\frac{AB}{BD} = \frac{a}{\frac{3}{4}a} = \frac{4}{3}\)

\(\frac{BC}{CD} = \frac{b}{9 - \frac{3}{4}a}\)

Теперь, если \(\frac{AB}{BD} = \frac{BC}{CD}\), то треугольники ABC и BDC подобны.

\(\frac{4}{3} = \frac{b}{9 - \frac{3}{4}a}\)

Умножим обе стороны на \(\frac{3}{4}a\):

\(\frac{3}{4}a \cdot \frac{4}{3} = b\)

\(a = b\)

Таким образом, мы доказали, что стороны AB и BC равны, и углы ABC и BDC равны, что означает, что треугольники ABC и BDC подобны.

Теперь, если \(BC = 9\) см, то \(AC = AB + BC = a + b\). Так как мы доказали, что \(a = b\), то \(AC = 2a\).

Также у нас дано, что \(3AB = 4BD\), что означает, что \(BD = \frac{3}{4}AB\). Таким образом, \(BC = \frac{7}{4}AB\).

Из условия \(BC = 9\) см мы можем выразить \(AB\):

\(\frac{7}{4}AB = 9\)

Умножим обе стороны на \(\frac{4}{7}\):

\(AB = \frac{36}{7}\) см

Теперь мы можем найти сторону \(AC\):

\(AC = 2 \cdot AB = 2 \cdot \frac{36}{7} = \frac{72}{7}\) см

Таким образом, сторона \(AC\) равна \(\frac{72}{7}\) см.