Question

Дан прямоугольник ABCD, O – точка пересечения диагоналей, точки М и К – середины сторон BC и CD соответственно. Известно, что OM = 3, OK = 5. Найдите периметр прямоугольника ABCD. 30 БАЛЛОВ пожалуйста ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

Ответ:

1) AB = CD = 3 * 2 = 6 (Согласно свойству точки пересечения диагоналей в прямоугольнике)

2)BC = AD = 5 * 2 = 10(Согласно свойству точки пересечения диагоналей в прямоугольнике)

AB = CD = 6

BC = AD = 10

Answer 2

Для решения задачи посмотрим на треугольники, образованные диагоналями и отрезками, соединяющими точки пересечения диагоналей с серединами сторон.

Обозначим \(AB = a\), \(BC = b\), \(CD = c\), и \(AD = d\).

Так как точки \(M\) и \(K\) являются серединами сторон \(BC\) и \(CD\) соответственно, то \(BM = MC = \frac{b}{2}\) и \(CK = KD = \frac{c}{2}\).

Из условия задачи известно, что \(OM = 3\) и \(OK = 5\). Также, \(O\) является точкой пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). Диагонали делят друг друга пополам, поэтому \(OA = OC = OD = OB\).

Теперь рассмотрим треугольник \(BOM\). Применяя теорему Пифагора, получаем:

\[ BO^2 = BM^2 + OM^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + 3^2 \]

Так как \(BO = OA\), то \(OA^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + 3^2\).

Аналогично, рассмотрим треугольник \(COK\):

\[ CO^2 = CK^2 + OK^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 + 5^2 \]

Так как \(CO = OA\), то \(OA^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 + 5^2\).

Поскольку \(OA^2\) одно и то же в обоих случаях, можно уравнять выражения:

\[ \left(\frac{b}{2}\right)^2 + 3^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 + 5^2 \]

Решая это уравнение, найдем значение \(b\), которое равно длине стороны прямоугольника \(ABCD\).

Теперь, зная значение \(b\), можем найти длины остальных сторон:

\[ a = b \quad \text{(по условию прямоугольника)} \] \[ c = \sqrt{\left(\frac{c}{2}\right)^2 + 5^2} \quad \text{(по теореме Пифагора)} \] \[ d = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + 3^2} \quad \text{(по теореме Пифагора)} \]

Теперь можем найти периметр прямоугольника:

\[ P = a + b + c + d \]

Подставим известные значения и решим уравнение.