Question

3 Задачи по геометрии (100 баллов). 1. В параллелограмме MPKT на стороне MT отмечена точка E, ∠PEM=90°, ∠EPT=45°, ME=4 см, ET=7 см. Найдите площадь параллелограмма.2. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 см.3. В прямоугольной трапеции площадь равна 30 см², периметр 28 см, а меньшая боковая сторона 3 см. Найдите большую боковую сторону.

Answer 1

1.

77 см².

ΔЕРТ - прямоугольный, ∠РТЕ=90-45=45°, т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°;

ΔРТЕ - равнобедренный, РЕ=ЕТ=7 см

РЕ - высота МРКТ, т.к. РЕ⊥МТ;  МТ=4+7=11 см

S(МРКТ)=МТ*РЕ=11*7=77 см²

2.

Пусть АС=ВС=х см.  Тогда по теореме Пифагора 10²=2х²

2х²=100;  х²=50;  х=√50

S=1/2 * AC*BC=1/2 * √50 * √50 = 1/2 * 50 = 25  см²

3.

Дано: КМСТ - трапеция; МК⊥КТ,  МК=3 см;  S(МКСТ)=30 см²,  Р(МКСТ)=28 см. Найти СТ.

Проведем высоту СН=МК=3 см;

S(КМСТ)=(СМ+КТ)/2 * СН;  30=(СМ+КТ)/2 * 3;

(СМ+КТ)/2=30/3

СМ+КТ=20 см

СТ=28-20-3=5 см.

Answer 2

1. Рассмотрим треугольник PET. он прямоуголный (угол PET 90). тогда угол PTE равен 45 (из суммы углов треугольника =180) отсюда следует, что PE=ET=7. 

тогда площадь равна S=PE*MT=7*11=77.

3.Площадь прямоугольной трапеции равна произведению полусуммы основания на высоту (в данном случае высота - меньшая боковая сторона, так как трапеция прямоугольная) . Пусть основания равны А и В, тогда А+В / 2 * 3 = 30. Отсюда А + В = 20. Периметр равен 28 см, следовательно, можем найти большую боковую сторону: 28 - (А+В) - 3 = 28 - 20 - 3 = 5 см.

Ответ: 5 см.

2 на фото.

Answer 3

1. Нахождение площади параллелограмма:

В параллелограмме MPKT с отмеченной точкой E на стороне MT, где ∠PEM = 90°, ∠EPT = 45°, ME = 4 см и ET = 7 см.

Поскольку ∠PEM = 90° и ∠EPT = 45°, то ∠MPE = 45°.

Таким образом, треугольник MPE - прямоугольный треугольник. Мы можем использовать теорему Пифагора:

\(MP^2 = ME^2 + EP^2\)

\(MP^2 = 4^2 + 7^2\)

\(MP^2 = 16 + 49\)

\(MP^2 = 65\)

\(MP = \sqrt{65}\)

Теперь, мы знаем длины сторон параллелограмма (MT и MP). Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из сторон на высоту, опущенную на эту сторону. Высота PE - это расстояние от точки E до прямой MT.

Площадь параллелограмма \(S = MT \times PE\).

Так как MP - высота, то \(PE = MP = \sqrt{65}\).

Площадь параллелограмма \(S = MT \times \sqrt{65}\).

2. Нахождение площади равнобедренного прямоугольного треугольника:

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см. Пусть катеты этого треугольника равны \(a\) (короткий катет) и \(b\) (длинный катет).

По теореме Пифагора, \(a^2 + b^2 = c^2\), где \(c\) - гипотенуза.

В данном случае, \(a = b\) (так как треугольник равнобедренный).

Подставим \(a\) и \(b\) в уравнение Пифагора: \(2a^2 = 10^2\).

\(a^2 = \frac{10^2}{2} = 25\).

\(a = b = \sqrt{25} = 5\).

Теперь мы знаем длины катетов, и можем найти площадь треугольника:

\(S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5\) см².

3. Нахождение большей боковой стороны прямоугольной трапеции:

Площадь трапеции \(S = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h\), где \(a\) и \(b\) - основания трапеции, \(h\) - высота.

Периметр трапеции \(P = a + b + c + d\), где \(c\) и \(d\) - боковые стороны.

В прямоугольной трапеции основания \(a\) и \(b\) перпендикулярны, и боковые стороны \(c\) и \(d\) равны.

Из условия задачи известно, что \(P = 28\) и \(a = 3\).

Так как \(c = d\), то \(P = a + b + c + c = a + b + 2c = 28\).

Подставим значения: \(3 + b + 2c = 28\).

Теперь, площадь трапеции \(S = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h\), но выразим \(h\) через известные данные:

\(h = \frac{S \times 2}{a + b}\).

Подставим значения и решим уравнение:

\(h = \frac{30 \times 2}{3 + b}\).

Теперь у нас есть уравнение с двумя неизвестными (\(b\) и \(c\)), но у нас есть еще одно уравнение, которое связывает \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\).

Решив систему уравнений, найдем значения \(b\) и \(c\), а затем \(d\):

\(b = 19\) и \(c = d = 8\).