Question

Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 18 м, а її діагональ є бісектрисою гострого кута трапеції. Знайдіть меншу основу трапеції, якщо її периметр 54 см. ​

Answer 1

меньшая основа=12 см. решение на фото

Answer 2

Давайте позначимо більшу основу трапеції як \(a\), меншу основу як \(b\) і бісектрису гострого кута (діагональ) як \(d\).

Відомо, що більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 18 м, отже \(a = 18 \, \text{м}\).

Також нам сказано, що діагональ є бісектрисою гострого кута трапеції. Це означає, що трапеція має два прямокутних трикутники, і бісектриса ділить гострий кут на дві рівні частини. Таким чином, ми можемо скористатися теоремою Піфагора для цих трикутників.

Задамо прямокутний трикутник з гіпотенузою \(d\), а катетами \(b/2\) та \((a - b)/2\).

За теоремою Піфагора: \[d^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2\]

Розкриваємо дужки та спрощуємо вираз: \[d^2 = \frac{b^2}{4} + \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4}\] \[d^2 = \frac{a^2 - 2ab + 2b^2}{4}\]

Тепер нам відомо, що периметр трапеції дорівнює 54 см. Периметр трапеції обчислюється за формулою: \[P = a + b_1 + b_2 + d\]

Підставимо відомі значення: \[54 = 18 + b + b + d\]

Також можемо виразити \(d\) з трикутникового рівняння: \[d^2 = \frac{a^2 - 2ab + 2b^2}{4}\] \[d = \frac{\sqrt{a^2 - 2ab + 2b^2}}{2}\]

Підставимо вираз для \(d\) в рівняння периметру: \[54 = 18 + b + b + \frac{\sqrt{a^2 - 2ab + 2b^2}}{2}\]

Розв'яжемо це рівняння для \(b\). Знайдене значення \(b\) буде меншою основою трапеції. Окремий розгляд кореня покаже два значення (позитивне та від'ємне), але фізично обидва не можуть бути довжиною. Таким чином, беремо лише позитивне значення:

\[54 = 18 + 2b + \frac{\sqrt{18^2 - 2 \cdot 18 \cdot 2b + 2b^2}}{2}\]

Спростимо рівняння та розв'яжемо його:

\[36 = 2b + \sqrt{18^2 - 36b + b^2}\]

Піднімемо обидві сторони рівняння до квадрату для усунення кореня:

\[1296 = 4b^2 + 18^2 - 36b + b^2\]

Згрупуємо подібні члени та перенесемо все на одну сторону:

\[5b^2 - 36b + 252 = 0\]

Тепер можемо вирішити це квадратне рівняння. Використаємо квадратний корінь для знаходження дискримінанта:

\[D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 252\]

Підставимо значення і обчислимо:

\[D = 1296 - 5040 = -3744\]

Дискримінант від'ємний, що означає, що рівняння має два комплексних корені. Однак в фізичному контексті довжина не може бути комплексною, тому це рівняння не має реальних коренів для заданого периметру і відомих довжин. Можливо, в додаткових умовах або вихідних даних є помилка.