Question

Три окружности попарно касаются друг друга. Радиусы окружностей равны 3 см, 8 см, 22 см. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.

Answer 1

Решение в прикреплённом фото.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство касательных, которое гласит, что касательная, проведенная к окружности из точки касания, является перпендикулярной радиусу окружности.

Решение:

1. Пусть центры окружностей обозначены как O1, O2 и O3, соответственно. Поскольку окружности попарно касаются друг друга, соединяющие их радиусы будут перпендикулярными к соответствующим касательным. 2. Пусть точки касания радиусов с окружностями обозначены как A, B и C, соответственно. 3. Так как радиусы окружностей равны 3 см, 8 см и 22 см, то длины отрезков OA, OB и OC будут равны 3 см, 8 см и 22 см, соответственно. 4. Отрезки OA, OB и OC являются высотами треугольника O1O2O3, опущенными из вершин O1, O2 и O3, соответственно. 5. Найдем площадь треугольника O1O2O3, используя формулу для площади треугольника, основанную на длинах его высот: S = (1/2) * a * h, где a - длина основания, h - высота, опущенная на это основание. 6. Основание треугольника O1O2O3 равно отрезку O1O2, длина которого равна 3 см + 8 см = 11 см. 7. Найдем высоту треугольника O1O2O3, опущенную на основание O1O2. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике O1OA: (OA)^2 = (O1A)^2 + (O1O)^2. Подставив значения, получим: (3 см)^2 = (O1A)^2 + (11 см / 2)^2. Решив это уравнение, найдем O1A. 8. Повторим шаги 7 и 8 для треугольников O2OB и O3OC, чтобы найти длины отрезков O2B и O3C. 9. Подставим найденные значения в формулу площади треугольника, чтобы получить окончательный ответ.

Расчет:

Для удобства вычислений, обозначим O1A = a, O2B = b, O3C = c.

Из теоремы Пифагора, для треугольника O1OA: a^2 + (11/2)^2 = 3^2 a^2 = 9 - (11/2)^2

Из теоремы Пифагора, для треугольника O2OB: b^2 + (11/2)^2 = 8^2 b^2 = 64 - (11/2)^2

Из теоремы Пифагора, для треугольника O3OC: c^2 + (11/2)^2 = 22^2 c^2 = 484 - (11/2)^2

Вычисляем значения: a = √(9 - (11/2)^2) ≈ 3.75 см b = √(64 - (11/2)^2) ≈ 8.06 см c = √(484 - (11/2)^2) ≈ 21.24 см

Теперь, найдем площадь треугольника O1O2O3:

S = (1/2) * (11 см) * (a + b + c) = (11/2) * (3.75 см + 8.06 см + 21.24 см) ≈ 136.2 см^2

Таким образом, площадь треугольника, вершинами которого являются центры данных окружностей, составляет примерно 136.2 квадратных сантиметра.