Question

Задача №2: Точки К и М середины ребер АВ и CD правильного тетраэдра ABCD. Докажите, что AB⊥KM и KM⊥CD . Найдите длину КМ, если АВ=а.

Answer 1

Правильный тетраэдр, все грани - равные равносторонние треугольники.

AM и BM - медианы в равносторонних треугольниках со стороной a.

AM =BM =a sin60 =√3/2 a

△AMB - равнобедренный, медиана MK является высотой => MK⊥AB

Аналогично KM⊥CD

△AMB, т Пифагора

AK =AB/2 =1/2 a

KM =√(AM^2-AK^2) =√2/2 a

Answer 2

Для начала, докажем, что прямая ab перпендикулярна прямой km.

По определению, точка K - середина ребра AB, поэтому AK = BK. Точка M - середина ребра CD, поэтому CM = DM.

Длина AM равна половине длины ребра AB (так как M - середина), то есть AM = AB/2.

Треугольник AMK - равнобедренный, так как AM = AK. Значит, у него две равные стороны и два равных угла. Поэтому угол AKM равен углу AMK.

Аналогично, получаем, что треугольник BMK - равнобедренный и угол BKM также равен углу BMK.

Углы AKM и BKM являются смежными и равными, значит, и их сумма равна 180 градусов.

Получаем, что AMK - прямой угол.

Теперь докажем, что прямая km перпендикулярна прямой cd.

Для этого рассмотрим плоскость, проходящую через точки K, M и D. Поскольку КМ - средняя линия треугольника ACD, то она параллельна стороне AC и равна половине её длины.

Таким образом, в плоскости КМ, прямая KM перпендикулярна к прямой CD, так как KM и CD параллельны одной и той же плоскости.

Чтобы найти длину KM, воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике AMK.

AM = AB/2 (по условию)

AK = AB/2 (так как K - середина AB)

Таким образом, получаем:

KM² = AM² + AK² = (AB/2)² + (AB/2)² = AB²/4 + AB²/4 = AB²/2

KM = √(AB²/2) = AB/√2

Итак, длина KM равна AB, разделенной на квадратный корень из 2.

Окончательно, доказано, что ab ⊥ km и km ⊥ cd, а длина KM равна AB/√2.