Question

Рассмотрим плоскость, проходящую через середины двух противоположных ребер правильного тетраэдра. Проекция тетраэдра на эту плоскость - это четырехугольник с площадью А и одним из углов 60°. Найдите площадь поверхности тетраэдра.

Answer 1

E и F - середины ребер BC и AD.

EF - общий перпендикуляр к этим ребрам.

(Медианы BF и CF равны, BFC-р/б, EF⊥BC, медиана и высота. Аналогично EF⊥AD)

Точки B и C симметричны относительно EF, следовательно их проекции B1 и C1 тоже симметричны относительно EF. Аналогично A1 и D1. A1B1C1D1 - р/б трапеция.

Ребра BC и AD перпендикулярны.

(BF⊥AD, CF⊥AD => AD⊥(BFC) => AD⊥BC)

B1C1||A1D1 => ∠BEB1+∠AFA1=90° => ∠BEB1=∠FAA1

△BEB1=△FAA1 по гипотенузе и острому углу.

Рассмотрим трапецию

Пусть A1F=x, B1E=AA1=y, ребро=a

x^2 +y^2 =AF^2 =a^2/4 (△FAA1, т Пифагора)   // 1

EF =√(BF^2-BE^2) =√(3/4 a^2 - a^2/4) =a/√2 =B1H

A1H =(A1D1-B1C1)/2 =x-y

B1H/A1H =tg60 => a/√2(x-y) =V3   // 2

A=mh =(x+y) a/√2   // 3

Три уравнения, три неизвестных. Найдем a.

x^2+y^2 =a^2/4

x-y =a/√6

x+y =A√2/a

x^2+y^2 - (x-y)^2 =2xy =a^2/4 -a^2/6 =a^2/12

x^2+y^2 + 2xy =(x+y)^2 =a^2/4 +a^2/12 =a^2/3

(x+y)^2 =2A^2/a^2 =a^2/3 => a^2=A√6

Полная поверхность правильного тетраэдра Sполн =a^2 √3

Sполн =A√6*√3 =3√2 A

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для площади поверхности тетраэдра. Площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей его граней.

Так как проекция тетраэдра на плоскость - это четырехугольник с площадью А и одним из углов 60°, то можем использовать формулу для площади треугольника: S = 1/2 * a * b * sin(угол), где a и b - стороны треугольника, а угол - угол между этими сторонами.

Поскольку плоскость проходит через середины двух противоположных ребер тетраэдра, то можем предположить, что это образует равносторонний треугольник. Пусть длина его стороны равна с, тогда площадь проекции тетраэдра на эту плоскость будет равна S = 1/2 * c^2 * sin(60°) = c^2 * √3 / 4.

Таким образом, площадь одной грани тетраэдра равна c^2 * √3 / 4. Поскольку у тетраэдра 4 грани, то общая площадь поверхности тетраэдра будет равна 4 * (c^2 * √3 / 4) = c^2 * √3.

Таким образом, площадь поверхности тетраэдра равна c^2 * √3.