Question

у рівнобічній трапеції діагональ ділить навпіл гострий кут. більша основа трапеції дорівнює 12 см. а периметр - 33 см. Знайдіть меншу основу та бічну сторону трапеції​

Answer 1

Ответ: 7 см        

AC - бісектриса кута DAB (за умовою), ∠DAB = ∠ACD (як внутрішні різносторонні),  звідси ΔACD - рівносторонній.

Нехай AB = BC = CD = x.

Маємо рівняння:

x + x + x + 12 = 33

3x = 21

x = 7 (см)

Answer 2

Давайте позначимо більшу основу трапеції як \( b_1 \), меншу основу як \( b_2 \) і бічну сторону як \( a \). За умовою задачі відомо, що більша основа дорівнює 12 см, а периметр трапеції - 33 см.

Периметр трапеції визначається за формулою:

\[ P = b_1 + b_2 + a_1 + a_2 \]

У нашій випадку \( a_1 = a_2 = a \) (бічна сторона).

Так як більша основа \( b_1 \) дорівнює 12 см, то ми можемо записати:

\[ 33 = 12 + b_2 + 2a \]

Також відомо, що діагональ трапеції ділить гострий кут навпіл, що означає, що трапеція є прямокутною. Використовуючи теорему Піфагора для прямокутного трикутника, можемо записати:

\[ a^2 + \left( \frac{b_1 - b_2}{2} \right)^2 = \left( \frac{b_1 + b_2}{2} \right)^2 \]

Підставимо \( b_1 = 12 \):

\[ a^2 + \left( \frac{12 - b_2}{2} \right)^2 = \left( \frac{12 + b_2}{2} \right)^2 \]

Розв'яжемо це рівняння для \( b_2 \).

\[ a^2 + \frac{(12 - b_2)^2}{4} = \frac{(12 + b_2)^2}{4} \]

\[ a^2 + (12 - b_2)^2 = (12 + b_2)^2 \]

\[ a^2 + 144 - 24b_2 + b_2^2 = 144 + 24b_2 + b_2^2 \]

\[ a^2 - 24b_2 = 24b_2 \]

\[ a^2 = 48b_2 \]

Тепер ми можемо використати це рівняння разом із рівнянням периметру для визначення значень \( b_2 \) та \( a \).

\[ 33 = 12 + b_2 + 2a \]

\[ a^2 = 48b_2 \]

Розв'яжемо це систему рівнянь. Спочатку виразимо \( a \) з другого рівняння:

\[ a = \sqrt{48b_2} \]

Тепер підставимо це значення в перше рівняння:

\[ 33 = 12 + b_2 + 2\sqrt{48b_2} \]

\[ 21 = b_2 + 2\sqrt{48b_2} \]

\[ 2\sqrt{48b_2} = 21 - b_2 \]

\[ 96b_2 = (21 - b_2)^2 \]

\[ 96b_2 = 441 - 42b_2 + b_2^2 \]

\[ b_2^2 - 138b_2 + 441 = 0 \]

Розв'яжемо це квадратне рівняння для \( b_2 \). Використовуючи квадратне рівняння, отримаємо два значення \( b_2 \).

\[ b_2 = \frac{138 \pm \sqrt{(-138)^2 - 4(1)(441)}}{2(1)} \]

\[ b_2 = \frac{138 \pm \sqrt{19044 - 1764}}{2} \]

\[ b_2 = \frac{138 \pm \sqrt{17280}}{2} \]

\[ b_2 = \frac{138 \pm 120}{2} \]

Отже, маємо два значення \( b_2 \): \( b_2 = 9 \) або \( b_2 = 64 \). Так як менша основа не може бути більшою за більшу основу, то \( b_2 = 9 \) см.

Тепер можемо визначити значення бічної сторони \( a \) з рівняння \( a^2 = 48b_2 \):

\[ a^2 = 48 \times 9 \]

\[ a^2 = 432 \]

\[ a = \sqrt{432} \]

\[ a = 12\sqrt{3} \]

Отже, менша основа трапеції \( b_2 \) дорівнює 9 см, а бічна сторона \( a \) дорівнює \( 12\sqrt{3} \) см.