Question

50 баллов Даны вершины треугольника ABCA (9,-9), B (4,3), C (-2,-5)Найти:Координаты центра описанной окружности с Решением​​

Answer 1

Даны вершины треугольника ABC  : A (9,-9), B (4,3), C (-2,-5)

Найдите координаты центра описанной окружности.

Объяснение:

Чтобы найти координаты центра описанной окружности нужно найти уравнения двух прямых и затем найти точку пересечения.

1) Ищем уравнения прямых ,используя $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} =\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$ ,где М₁(х₁;у₁), М₂(х₂;у₂)

Прямая АВ :  (х-9)/(4-9)=(у+9)/(3+9) ⇒12(х-9)=-5(у+9) ,12х+5у-63=0.  Тогда к=-12/5 .   Прямая , перпендикулярная АВ,  имеет к=-1:(-12/5)=5/12 .

Так же пусть Р-середина АВ , тогда Р(13/2; -3) .

Прямая ВС :  (х-4)/(-2-4)=(у-3)/(-5-3) ⇒ -8(х-4)=-6(у-3) , 4х-3у-7=0.  Тогда

к= 4/3 . Прямая , перпендикулярная ВС,  имеет к=-1:(4/3)= -3/4.

Так же пусть К-середина ВС , тогда К(1 ;-1) .

2) Составим уравнения прямых  ОР ( к=5/12) и ОК(к=-3/4).

Для ОР : у= 5/12*х+в. Тк Р(13/2; -3) , то -3= 5/12*(13/2)+в ⇒в= -137/24

у=5/12*х-137/24.

Для ОК : у= -3/4*х+в.  Тк К(1 ;-1)  , то -1= -3/4*1+в ⇒в=-1/4

у=-3/4*х-1/4.

3) Найдем точку пересечения прямых ОР и ОК ( серединных перпендикуляров) приравнивая правые части

5/12*х-137/24=-3/4*х-1/4,   х=131/28 .Подставим данное значение  в уравнение  у=-3/4*х-1/4.

у(131/28)=-3/4*(131/128)-1/4= -1/4(3*(131/28)+1)= -1/4*(393/28)=-421/112 ,

у= -421/112

Координаты центра вписанной окружности ( 131/28; - 421/112).

Answer 2

Чтобы найти координаты центра описанной окружности треугольника ABC, мы можем воспользоваться формулой центра окружности, проходящей через три точки. Формула центра описанной окружности треугольника ABC выглядит следующим образом:

\[O_x = \frac{a_1(a_2^2 + a_3^2 - a_1^2) + a_2(a_3^2 + a_1^2 - a_2^2) + a_3(a_1^2 + a_2^2 - a_3^2)}{2(a_1(b_2 - c_2) + a_2(c_2 - a_2) + a_3(a_2 - b_2))},\]

\[O_y = \frac{a_1(a_2^2 + a_3^2 - a_1^2) + a_2(a_3^2 + a_1^2 - a_2^2) + a_3(a_1^2 + a_2^2 - a_3^2)}{2(a_1(b_3 - c_3) + a_2(c_3 - a_3) + a_3(a_3 - b_3))},\]

где \(A(a_1, a_2)\), \(B(b_1, b_2)\), и \(C(c_1, c_2)\) - координаты вершин треугольника.

В данном случае, у нас есть вершины треугольника ABC: \(A(9, -9)\), \(B(4, 3)\), \(C(-2, -5)\). Подставим эти значения в формулы и вычислим координаты центра описанной окружности.

\[O_x = \frac{9(4^2 + (-2)^2 - 9^2) + 4((-2)^2 + 9^2 - 4^2) + (-2)(9^2 + 4^2 - (-2)^2)}{2(9(3 - (-5)) + 4((-5) - 9) + (-2)(9 - 3))}\]

\[O_y = \frac{9(4^2 + (-2)^2 - 9^2) + 4((-2)^2 + 9^2 - 4^2) + (-2)(9^2 + 4^2 - (-2)^2)}{2(9((-5) - (-5)) + 4((-5) - 9) + (-2)((-5) - 3))}\]

После подсчета, вы получите координаты центра описанной окружности треугольника ABC.