Question

Найдите косинус угла А треугольника ABC, если A(1;-2); B(2;1); C(1;3).​

Answer 1

Ответ:

cos A = 0.3√10.

Объяснение:

Дано:

Треугольник АВС

A(1;-2); B(2;1); C(1;3)

Найти:

cos A

Решение:

Найдём длины сторон треугольника АВС:

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 +(y_B - y_A)^2 } =\sqrt{(2 - 1)^2 +(1 +2)^2 } =\sqrt{10}$

$BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 +(y_C - y_B)^2 } =\sqrt{(1 - 2)^2 +(3 - 1)^2 } =\sqrt{5}$

$AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 +(y_C - y_A)^2 } =\sqrt{(1 - 1)^2 +(3 +2)^2 } =\sqrt{25} = 5$

Проекции вектора АВ

$\overrightarrow {AB}{x~ = x_B - x_A = 2 - 1 = 1;~~~~~~\overrightarrow {AB}{y~ =y_B - y_A = 1 + 2= 3;$

Проекции вектора АС

$\overrightarrow {AC}{x~ = x_C - x_A = 1 - 1 = 0;~~~~~~\overrightarrow {AC}{y~ =y_C - y_A = 3 + 2= 5;$

Скалярное произведение

$\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC }= 1 \cdot 0 +3\cdot 5 = 15.$

С другой стороны скалярное произведение

$\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC }= AB \cdot AC\cdot cos~A$

откуда

$cos~A = \dfrac{\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC }}{AB \cdot AC }=\dfrac{15}{5\sqrt{10} } = \dfrac{3\sqrt{10} }{10}$

Проверка

ВС² = АВ² + АС² - 2 · АВ · АС · cos A

BC² = 10 + 25 - 2 · √10 · 5 · 0.3√10  = 5

ВС = √5

Answer 2

Для нахождения косинуса угла \( A \) в треугольнике \( ABC \) используем формулу косинуса:

\[ \cos A = \frac{{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}}{{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}} \]

где \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{BC} \) - векторы, соединяющие точки \( B \) с точками \( A \) и \( C \) соответственно, \( |\overrightarrow{BA}| \) и \( |\overrightarrow{BC}| \) - их длины.

Начнем с нахождения векторов \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{BC} \):

\[ \overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} \]

\[ \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Теперь найдем их длины:

\[ |\overrightarrow{BA}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]

\[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \]

Теперь подставим все в формулу для косинуса угла \( A \):

\[ \cos A = \frac{{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}}{{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}} = \frac{{(-1) \cdot (-1) + (-3) \cdot 2}}{{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}}} = \frac{{1 - 6}}{{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}}} = \frac{{-5}}{{\sqrt{50}}} = -\frac{{5}}{{5\sqrt{2}}} = -\frac{{\sqrt{2}}}{{2}} \]

Таким образом, косинус угла \( A \) в треугольнике \( ABC \) равен \( -\frac{{\sqrt{2}}}{{2}} \).