Question

в прямоугольном треугольнике вписан круг. Точка касания круга делит гипотенузу в отношении 2:3. Центр вписанного круга отдален от вершины прямого угла на расстоянии корня квадратного 8см. Найти периметр треугольника

Answer 1

Ответ:

24 см

Объяснение: Пусть треугольник АВС, угол В -прямой. Окружность касается катетов в точках Н и К,а гипотенузы в М.

Очевидно НВКО- квадрат. Диагональ ОВ равна 2*sqrt(2).

Значит радиус круга равен 2.

Пусть АМ=3х, МС=2х. Тогда СК=2х, а АН=3х

По теореме Пифагора

(3х+2)^2+(2x+2)^2=25x^2

9x^2+12x+4+4x^2+8x+4=25x^2

12x^2-20x=8

3x^2-5x=2

x=2

Гипотенуза 5х=10

катеты 6+2=8 и 4+2=6

Периметр 10+6+8=24 см

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые свойства прямоугольного треугольника и вписанного в него круга.

Свойства прямоугольного треугольника:

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является наибольшей стороной. 2. Катеты прямоугольного треугольника являются перпендикулярными друг другу. 3. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (теорема Пифагора).

Свойства вписанного круга:

1. Вписанный круг в прямоугольный треугольник касается его сторон в точках касания. 2. Линия, соединяющая вершину прямого угла с центром вписанного круга, является радиусом круга.

Решение задачи:

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна `c`, а катеты равны `a` и `b`. Тогда согласно условию задачи, точка касания круга делит гипотенузу в отношении 2:3. Это означает, что отрезок, соединяющий вершину прямого угла с точкой касания, делит гипотенузу на две части, причем отношение длин этих частей равно 2:3.

Используя это отношение, мы можем записать следующее уравнение:

`2/3 * c = a`

Также из условия задачи известно, что центр вписанного круга отдален от вершины прямого угла на расстоянии корня квадратного из 8 см. Это означает, что радиус круга равен корню квадратному из 8 см.

Найдем радиус круга: `r = sqrt(8) см = 2 * sqrt(2) см`

Так как радиус круга является перпендикуляром к стороне треугольника, то он также является высотой треугольника.

Используя свойства прямоугольного треугольника, мы можем выразить катеты через гипотенузу:

`a = 2/3 * c` `b = 3/3 * c = c`

Теперь мы можем выразить площадь треугольника через катеты:

`S = (a * b) / 2 = (2/3 * c * c) / 2 = (2/3 * c^2) / 2 = c^2 / 3`

Так как радиус круга является высотой треугольника, то площадь треугольника можно также выразить через радиус:

`S = (c * r) / 2`

Сравнивая два выражения для площади треугольника, получаем:

`c^2 / 3 = (c * 2 * sqrt(2)) / 2`

Упрощая это уравнение, получаем:

`c = 3 * sqrt(2)`

Теперь, когда мы знаем длины сторон прямоугольного треугольника, мы можем найти его периметр:

`P = a + b + c = 2/3 * c + c + c = 2/3 * c + 3 * c = 2/3 * 3 * sqrt(2) + 3 * sqrt(2) = 2 * sqrt(2) + 3 * sqrt(2) = 5 * sqrt(2)`

Таким образом, периметр треугольника равен `5 * sqrt(2)` см.