Question

Даны вершины А(-7;2) B(5;-3) C(8:1) треугольника АBC составить уравнение высоты проведенной из Спомогите пожалуйста ​

Answer 1

Даны вершины А(-7;2) B(5;-3) C(8:1) треугольника АBC.

Составить уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Высота СД - это перпендикуляр к прямой АВ.

Составим уравнение прямой АВ.

Вектор АВ = (5-(-7); -3-2) = (12; -5).

Уравнение АВ:

(x + 7)/12 = (y – 2)/(-5) в каноническом виде или

5х + 12у + 11 = 0         в общем виде.

Перпендикулярная прямая в общем виде Ах + Ву + С = 0 имеет коэффициенты по сравнению  с АВ, равные В и -А (это из условия, что их скалярное произведение равно нулю): 12х - 5у + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки С:

12*8 - 5*1 + С = 0, отсюда С = -96 + 5 = -91.

Получаем уравнение общего вида:  

СD = 12х - 5у - 91 = 0.

Answer 2

Чтобы составить уравнение высоты, проведенной из вершины C треугольника ABC, нам понадобятся координаты вершин A, B и C.

В данном случае, у нас есть вершины A(-7;2), B(5;-3) и C(8:1).

Шаг 1: Найдем уравнение прямой AB, проходящей через вершины A и B. Для этого воспользуемся формулой уравнения прямой, которая выглядит следующим образом: y = mx + b, где m - коэффициент наклона прямой, b - свободный член уравнения.

Вычислим коэффициент наклона m с помощью формулы: m = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) - координаты точки A, (x2, y2) - координаты точки B.

m = (-3 - 2) / (5 - (-7)) = (-5) / 12

Теперь, чтобы найти свободный член b, подставим координаты точки A в уравнение прямой: 2 = (-5/12)(-7) + b

2 = 35/12 + b

b = 2 - 35/12 = 24/12 - 35/12 = -11/12

Таким образом, уравнение прямой AB будет выглядеть следующим образом: y = (-5/12)x - 11/12.

Шаг 2: Найдем уравнение прямой, перпендикулярной AB и проходящей через вершину C. Для этого воспользуемся свойством перпендикулярных прямых, которое гласит, что произведение коэффициентов наклона перпендикулярных прямых равно -1.

Так как уравнение прямой AB имеет коэффициент наклона -5/12, коэффициент наклона перпендикулярной прямой будет 12/5.

Подставим координаты точки C(8:1) в формулу уравнения прямой: y = (12/5)x + b.

1 = (12/5)(8) + b

1 = 96/5 + b

b = 1 - 96/5 = 5/5 - 96/5 = -91/5

Таким образом, уравнение прямой, перпендикулярной AB и проходящей через вершину C, будет выглядеть следующим образом: y = (12/5)x - 91/5.

Шаг 3: Найдем точку пересечения прямых AB и BC, чтобы найти вершину H (перпендикулярной высоте), где высота проведена из вершины C.

Для этого приравняем уравнения прямых AB и BC:

(-5/12)x - 11/12 = (12/5)x - 91/5.

Решим это уравнение для x:

(-5/12)x - (12/5)x = -11/12 + 91/5

(-25/60)x - (144/60)x = -11/12 + 1092/60

(-169/60)x = 1081/60

x = (1081/60) / (-169/60) = -169/1081

Подставим значение x в уравнение прямой AB для нахождения соответствующего значения y:

y = (-5/12)(-169/1081) - 11/12

y = 845/2592 - 11/12

y = (845/2592) * (12/12) - 11/12

y = 10140/31104 - 11/12

y = (10140 - 28584)/31104

y = -18444/31104 = -513/864

Таким образом, вершина H имеет координаты (-169/1081, -513/864).

Шаг 4: Теперь, имея координаты вершин C и H, мы можем составить уравнение прямой, проходящей через эти две точки. Для этого воспользуемся формулой уравнения прямой, используя координаты C и H:

y = mx + b, где m - коэффициент наклона, b - свободный член уравнения.

Вычислим коэффициент наклона m:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) - координаты точки C, (x2, y2) - координаты точки H.

m = (-513/864 - 1) / (-169/1081 - 8)

m = (-513/864 - 864/864) / (-169/1081 - 8)

m = (-1377/864) / (-13537/1081)

m = (1377/864) / (13537/1081)

m = (1377/864) * (1081/13537)

m = 1377/13537

Теперь, чтобы найти свободный член b, подставим координаты точки C в уравнение прямой: 1 = (1377/13537)(8) + b

1 = 11016/13537 + b

b = 1 - 11016/13537

b = (13537/13537) - (11016/13537)

b = 251/13537

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через вершины C и H, будет выглядеть следующим образом: y = (1377/13537)x + 251/13537.

Это уравнение представляет собой уравнение высоты, проведенной из вершины C треугольника ABC.