Question

Внутри прямоугольного треугольника АВС (угол С прямой) взята точка О так, что треугольники ОАВ, ОАС, ОВС равновелики. Найти длину ОС, если известно, что ОA^2+ОВ^2=m.

Answer 1

Ответ:

ОС=

$\ \sqrt{ \dfrac{m}{5} }$

Объяснение:

Проведём перпендикуляры ОМ⟂АС и ON⟂BC. Площадь прямоугольного треугольника АВС:

$S = \dfrac{1}{2} \times AC \times BC$

Так как точка О разбивает треугольник ABC на 3 равновеликих треугольника то площадь треугольника АОС будет равна:

$S(AOC) = \dfrac{1}{3} \times S = \dfrac{1}{3 } \times \dfrac{1}{2} \times AC \times BC = \dfrac{1}{6} \times AC \times BC$

С другой стороны:

$S(AOC) = \dfrac{1}{2} \times AC \times OM$

Получаем:

$\dfrac{1}{6} \times AC \times BC = \dfrac{1}{2} \times OM \times AC \\ \\ BC = 3OM \\ \\ OM = \dfrac{1}{3} BC$

Аналогично получаем, что

$ON = \dfrac{1}{3} AC$

Так как ONMC - прямоугольник, то NC=OM, MC=ON.

$AM = AC - MC = AC - \dfrac{1}{3} AC = \dfrac{2}{3} AC$

Аналогично:

$BN = \dfrac{2}{3} \times BC$

Воспользовавшись теоремой Пифагора найдём гипотезы треугольников АОМ, BON, COM:

${OA}^{2} = {AM}^{2} + {OM}^{2} = \dfrac{4}{9} {AC}^{2} + \dfrac{1}{9} {BC}^{2} \\ \\ {OB}^{2} = {BN}^{2} + {ON}^{2} = \frac{4}{9} {BC}^{2} + \frac{1}{9} {AC}^{2} \\ \\ {OC}^{2} = {OM}^{2} + {MC}^{2} = \frac{1}{9 } {BC}^{2} + \frac{1}{9} {AC}^{2}$

Отсюда следует:

${OA}^{2} + {OB}^{2} = \dfrac{4}{9} {AC}^{2} + \dfrac{1}{9} {BC}^{2} + \dfrac{4}{9} {BC}^{2} + \dfrac{1}{9} {AC}^{2} = \\ \\ = \dfrac{5}{9} {AC}^{2} + \dfrac{5}{9} {BC}^{2} = 5( \dfrac{1}{9 } {AC}^{2} + \dfrac{1}{9} {BC}^{2} ) = 5 {OC}^{2}$

Так как по условию задачи

${OA}^{2} + {OB}^{2} = m$

то

$5 {OC}^{2} = m \\ OC = \sqrt{ \dfrac{m}{5} }$

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойством равновеликих треугольников.

По условию задачи, треугольники ОАВ, ОАС и ОВС равновелики. Это значит, что их стороны пропорциональны. Обозначим длину стороны треугольника ОАВ как x, длину стороны треугольника ОАС как y и длину стороны треугольника ОВС как z.

Так как треугольник АВС прямоугольный, то применим теорему Пифагора: AC^2 = AB^2 + BC^2

Заметим, что сторона ОС треугольника ОАС является гипотенузой прямоугольного треугольника ОАС, а сторона ОВ треугольника ОВС является гипотенузой прямоугольного треугольника ОВС. Также из условия задачи известно, что ОА^2 + ОВ^2 = m.

Применим теорему Пифагора к треугольнику ОАС: ОС^2 = ОА^2 + AC^2

Заменим AC^2 на AB^2 + BC^2: ОС^2 = ОА^2 + AB^2 + BC^2

Также, из условия задачи известно, что ОА^2 + ОВ^2 = m. Заменим ОА^2 на m - ОВ^2: ОС^2 = m - ОВ^2 + AB^2 + BC^2

Так как треугольник ОАВ равновелик треугольнику ОВС, то x = z. Подставим это в уравнение: ОС^2 = m - z^2 + AB^2 + BC^2

Теперь воспользуемся свойством равновеликих треугольников, которое гласит, что соответствующие стороны равновеликих треугольников пропорциональны. То есть соотношение сторон ОАВ, ОАС и ОВС будет иметь вид: x : y : z = AB : AC : BC

Так как треугольники ОАВ и ОВС равновелики, то x : z = AB : BC. А так как x = z, то получаем AB = BC.

Подставим это в уравнение: ОС^2 = m - z^2 + AB^2 + AB^2

Так как AB = BC, то: ОС^2 = m - z^2 + BC^2 + BC^2

Таким образом, у нас есть уравнение для вычисления длины ОС: ОС^2 = m - z^2 + 2BC^2

Найдем длину стороны BC. Так как треугольник АВС прямоугольный, то применим теорему Пифагора: AC^2 = AB^2 + BC^2

Заменим AB^2 на BC^2, так как AB = BC: AC^2 = BC^2 + BC^2

AC^2 = 2BC^2

Теперь подставим это в уравнение для ОС: ОС^2 = m - z^2 + 2(AC^2/2)

ОС^2 = m - z^2 + AC^2

Теперь мы можем найти длину ОС, если известно значение m, z и AC.

Примечание: Для полного решения задачи необходимо знать значение m и длину стороны AC. Если эти данные известны, можно продолжить вычисления и найти длину ОС.