Question

Дан треугольник ABC, его площадь (S), радиус вписанной окружности (r) и угол A. Найти сторону BC.

Answer 1

Дан треугольник ABC, его площадь (S), радиус вписанной окружности (r) и угол A. Найти сторону BC.

Если есть площадь треугольника и радиус вписанной окружности, то находим значение полупериметра р.

p = S/r.

В величину полупериметра входит одна сторона полностью и отрезок другой стороны от вершины до точки касания с вписанной окружностью.

Этот отрезок равен r/(tg(A/2)).

Ответ: BC = (S/r) - (r/(tg(A/2))).

Можно проверить на конкретном примере.

Пусть дан треугольник с площадью 50 кв. ед., угол, тангенс половины которого равен 3/4 и вписанная окружность радиусом 3.

Получаем ВС = (50/3) - ( = 3/(3/4)) = (50/3) - 4 = 12,67.

Проверка произведена с помощью графического редактора GeoGebra и результат подтверждён: ВС = 12,67.

Answer 2

Для нахождения стороны \( BC \) треугольника \( ABC \) по заданным данным – площади \( S \), радиуса вписанной окружности \( r \) и углу \( A \) – мы можем использовать формулу, связывающую площадь треугольника с его сторонами и радиусом вписанной окружности. Формула также зависит от полупериметра треугольника \( p \) (полупериметр равен \( \frac{a + b + c}{2} \), где \( a \), \( b \) и \( c \) – длины сторон треугольника).

Формула для площади треугольника через радиус вписанной окружности и стороны выглядит следующим образом:

\[ S = pr, \]

где \( p \) - полупериметр треугольника, а \( r \) - радиус вписанной окружности.

Также, для нахождения стороны \( BC \) по углу \( A \) можно использовать формулу синуса:

\[ \frac{a}{\sin A} = 2r, \]

где \( a \) - сторона \( BC \), \( A \) - угол при вершине \( A \) треугольника \( ABC \), \( r \) - радиус вписанной окружности.

Чтобы найти сторону \( BC \), нам нужно выразить \( a \) из этой формулы:

\[ a = 2r \cdot \sin A. \]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ S = pr, \] \[ a = 2r \cdot \sin A. \]

Мы можем выразить \( p \) через известные значения \( S \) и \( r \):

\[ p = \frac{S}{r}. \]

Затем, используя формулу полупериметра \( p = \frac{a + b + c}{2} \), где \( a = BC \), мы можем выразить \( BC \) через найденные значения:

\[ \frac{a + b + c}{2} = \frac{S}{r}, \] \[ a + b + c = \frac{2S}{r}, \] \[ a + BC + AC = \frac{2S}{r}. \]

Также, используя формулу \( a = 2r \cdot \sin A \), можем подставить \( a \) в уравнение:

\[ 2r \cdot \sin A + BC + AC = \frac{2S}{r}, \] \[ BC = \frac{2S}{r} - 2r \cdot \sin A - AC. \]

Теперь, зная угол \( A \), площадь \( S \), радиус вписанной окружности \( r \) и другие стороны треугольника, мы можем вычислить сторону \( BC \) по данной формуле.