Question

5. Основи трапеції дорівнюють 6 см і 24 см. Знайдіть радіуси вписаногоі описаного кіл.​

Answer 1

Ответ:

r = 6 см

$R=\dfrac{15\sqrt{41}}{8}$ см

Объяснение:

Трапеция вписана в окружность, значит она равнобедренная.

AB = CD.

Трапеция описана около окружности, значит суммы противоположных сторон равны.

AB + CD = AD + BC = 24 + 6 = 30 см

AB = CD = 30 : 2 = 15 см

Проведем высоту СН.

По свойству равнобедренной трапеции отрезок HD равен полуразности оснований:

HD = 0,5 · (AD - BC) = 0,5 · (24 - 6) = 0,5 · 18 = 9 см

ΔCHD:  ∠CHD = 90°, по теореме Пифагора

 CH = √(CD² - HD²) = √(15² - 9²) = √(225 - 81) = √144 = 12 см

• Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.

r = 0,5 CH = 0,5 · 12 = 6 см

ΔCHD:  ∠CHD = 90°

$\cos\alpha =\dfrac{HD}{CD}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}=0,6$

$\sin\alpha =\dfrac{CH}{CD}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}=0,8$

Из ΔACD по теореме косинусов:

AC² = AD² + CD² - 2 · AD · CD · cosα

AC² = 24² + 15² - 2 · 24 · 15 · 0,6

AC² = 576 + 225  - 432 = 369

AC = √369 = 3√41 см

Треугольник ACD вписан в ту же окружность, что и трапеция.

По следствию из теоремы синусов:

$\dfrac{AC}{\sin\alpha}=2R$

$R=\dfrac{AC}{2\sin\alpha}=\dfrac{3\sqrt{41}}{2\cdot 0,8}$

$R=\dfrac{3\sqrt{41}}{1,6}=\dfrac{30\sqrt{41}}{16}=\dfrac{15\sqrt{41}}{8}$ см

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі нам знадобиться знання про властивості трапеції.

Відомо, що в трапеції основи паралельні. У нашому випадку, основи дорівнюють 6 см і 24 см.

Відомо також, що в трапеції бічні сторони паралельні і рівні. Тому, відрізок, який з'єднує середини бічних сторін трапеції, буде перпендикулярний до основи і ділить її на дві рівні частини.

За теоремою Піфагора, можна знайти довжину відрізка, який з'єднує середини бічних сторін трапеції. Вона дорівнює квадратному кореню з суми квадратів половин основ трапеції:

Середина основи дорівнює половині основи, тому половина основи дорівнює 6/2 = 3 см. Середина другої основи дорівнює половині другої основи, тому половина другої основи дорівнює 24/2 = 12 см.

Довжина відрізка, який з'єднує середини бічних сторін, дорівнює квадратному кореню з суми квадратів половин основ трапеції:

√(3^2 + 12^2) = √(9 + 144) = √153 ≈ 12.37 см.

Тепер ми можемо знайти радіуси вписаного і описаного кола.

Радіус вписаного кола можна знайти за формулою: r = (периметр трапеції) / (2 * (довжина відрізка, який з'єднує середини бічних сторін)) r = (6 + 24 + 12.37 + 12.37) / (2 * 12.37) = 54.74 / 24.74 ≈ 2.21 см.

Радіус описаного кола можна знайти за формулою: R = (произведение основ трапеції) / (2 * (площа трапеції)) R = (6 * 24) / (2 * (1/2 * (6 + 24) * 12.37)) = 144 / (2 * (30 * 12.37)) = 144 / (2 * 371.1) ≈ 0.194 см.

Отже, радіус вписаного кола дорівнює приблизно 2.21 см, а радіус описаного кола дорівнює приблизно 0.194 см.