Question

3.13. Докажите, что в равных треугольниках равны соответствующие высоты​

Answer 1

Ответ:

Треуг ABC = треуг A1B1C1 , AD и A1D1 -высоты. Рассмотрим трег ABD и A1B1D1, угол BDA = B1D1A1= 90 градусов, т.к ВД параллельно АС  и В1Д1 параллельно А1С1 АВ=А1В1 угол А равен углу А1, угол АВД=90 град - угол А, угол А1В1Д1=90 град - угол А1, след угол АВД=А1В1Д1. Следовательно треуг АВД=А1В1Д1 по гипотенузе и прилегающей к ней углам. Из равенство треуг следует равенство сторон ВД и В1Д1, которые в исходных равных треуг являются высотами 

Answer 2

Предположим, у нас есть два равных треугольника, назовем их ABC и DEF. Пусть AD и CF - высоты, проведенные из вершин A и C соответственно.

Мы должны доказать, что AD = CF.

Воспользуемся определением высоты треугольника: высота - это отрезок, проведенный из вершины треугольника к противолежащей стороне и перпендикулярный ей.

Так как треугольники ABC и DEF равны, их стороны должны быть равными. Значит, AB = DE, BC = EF и AC = DF.

Рассмотрим треугольник ADC. Мы знаем, что AD и CF - высоты этого треугольника. Рассмотрим прямоугольные треугольники ACD и FCD.

В треугольнике ACD у нас есть две известные стороны: AC и AD. По теореме Пифагора можно записать: AC^2 = AD^2 + CD^2.

Аналогично, в треугольнике FCD у нас есть две известные стороны: FC и CD. По теореме Пифагора можно записать: FC^2 = FD^2 + CD^2.

Поскольку AC = DF (по равенству треугольников), мы можем сопоставить выражения для AC^2 и FC^2: AD^2 + CD^2 = FD^2 + CD^2.

Заметим, что CD^2 сокращается на обеих сторонах равенства. Тогда мы получаем: AD^2 = FD^2.

Так как квадраты AD и FD равны, AD и FD должны быть равными. То есть AD = FD.

Это означает, что высоты AD и CF равны в равных треугольниках.