Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ 2.Решить задачу: Высота равнобедренного треугольника, опущенного на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.

Answer 1

Объяснение:

Пусть AD — вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, опу­щен­ная на его ос­но­ва­ние BC, O — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, P — точка ее ка­са­ния с бо­ко­вой сто­ро­ной AB.

Тогда

AO=AP минус OP=9 минус 4=5.

Обо­зна­чим ∠BAD = α. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим, что

синус альфа = дробь: чис­ли­тель: OP, зна­ме­на­тель: OA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Тогда ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , \operatorname тан­генс альфа = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , AP=AO ко­си­нус альфа =5 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби =3, BP=BD=AD умно­жить на \operatorname тан­генс альфа =9 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =12.

Пусть окруж­ность с цен­тром O1 и ра­ди­у­сом r1 ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон AB и AC в точ­ках F и G со­от­вет­ствен­но, а также ос­но­ва­ния BC. Тогда D — точка ка­са­ния, по­это­му

BF=BD=12,AF=AP плюс PB плюс BF=3 плюс 12 плюс 12=27.

Сле­до­ва­тель­но, Пусть те­перь окруж­ность с цен­тром O2 ра­ди­у­са r2 ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AB, про­дол­же­ния ос­но­ва­ния BC в точке Q и про­дол­же­ния бо­ко­вой сто­ро­ны AC в точке K. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му AO2 и AD — бис­сек­три­сы смеж­ных углов BAK и CAB зна­чит, ∠DAO2 = 90°. Тогда ADQO2 — пря­мо­уголь­ник. Сле­до­ва­тель­но, r2 = O2Q = AD = 9. Ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AC и про­дол­же­ний ос­но­ва­ния BC и бо­ко­вой сто­ро­ны AB также равен 9.

Ответ: 9 или 36

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами треугольников и окружностей.

Найдем высоту равнобедренного треугольника:

Пусть основание равнобедренного треугольника равно a, а высота равна h. Тогда мы знаем, что высота, опущенная на основание, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Таким образом, мы можем использовать свойства подобных треугольников, чтобы выразить h через a.

Из свойства подобных треугольников: \[ \frac{h}{a} = \frac{a}{2r} \] где r - радиус вписанной окружности.

Таким образом, мы можем выразить h через a и r: \[ h = \frac{a^2}{2r} \]

Найдем радиус вписанной в треугольник окружности:

По определению, радиус вписанной в треугольник окружности можно выразить через площадь треугольника и его полупериметр. Пусть S - площадь треугольника, а p - полупериметр. Тогда радиус вписанной окружности выражается следующим образом: \[ r = \frac{S}{p} \]

Найдем радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон:

Радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, равен половине суммы радиуса вписанной в треугольник окружности и высоты, опущенной на эту сторону.

\[ R = \frac{r + h}{2} \]

Подставим известные значения:

Из условия задачи нам известно, что высота равнобедренного треугольника, опущенного на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4.

Мы также знаем, что площадь треугольника S можно выразить через его основание a и высоту h: \[ S = \frac{ah}{2} \]

Решение:

1. Найдем основание равнобедренного треугольника: \[ h = \frac{a^2}{2r} \] \[ a = \sqrt{2rh} \]

2. Найдем площадь треугольника: \[ S = \frac{ah}{2} = \frac{\sqrt{2rh} \cdot 9}{2} = \frac{9\sqrt{2rh}}{2} \]

3. Найдем полупериметр треугольника: \[ p = \frac{a + a + a}{2} = \frac{3a}{2} \]

4. Найдем радиус вписанной в треугольник окружности: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{9\sqrt{2rh}}{2}}{\frac{3\sqrt{2rh}}{2}} = 3 \]

Теперь, когда у нас есть значение радиуса вписанной окружности, мы можем использовать его и высоту треугольника, чтобы найти радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон: \[ R = \frac{r + h}{2} = \frac{3 + 9