Question

Помогите,пожалуйста,решить. Докажите, что в правильной четырёхугольной пирамиде SABCD диагональ BD основания ABCD перпендикулярна прямой, соединяющей центр основания и середину ребра SC.

Answer 1

Ответ:

Надо доказать, что углы SMO и SMD прямые

Т.к. все ребра равны (путь a), то треугольник SCD - равносторонний значит DM является и медианой и высотой, т.е. угол DMS=90

Т.к. AB=AD=a то по т. Пифагора

Так же по т.Пифагора:

Т.к. CO=OD=SO то треугольник SOC равнобедренный, ОМ - медина и высота то угол SMO=90

Answer 2

Для доказательства данного утверждения можно воспользоваться теоремой о центральных проекциях.

Пусть O - центр основания ABCD, M - середина ребра SC.

Так как пирамида SABCD правильная, то ее основание ABCD является правильным четырехугольником, а значит, центр основания O совпадает с центром описанной окружности этого четырехугольника.

Теперь рассмотрим треугольник SBD. Так как SABCD правильная пирамида, то угол SBD равен углу SCD, а угол SDB равен углу SDC. Таким образом, треугольники SBD и SCD подобны.

Поскольку O - центр описанной окружности ABCD, то BD - радиус этой окружности, и он перпендикулярен касательной к этой окружности в точке D, то есть к прямой, проходящей через точку D и центр основания O.

Таким образом, диагональ BD основания ABCD перпендикулярна прямой, соединяющей центр основания и середину ребра SC.