Question

расстояние от центра основания конуса до образующей равно 3 см а угол между высотой и образующей конуса равен 30 градусов . найти высоту конуса и площадь боковой поверхности конуса

Answer 1

Ответ:

Высота конуса 6см. Площадь боковой поверхности  24π см².

Объяснение:

Рассмотрим конус .

Δ АВС - осевое сечение конуса. ВО - высота конуса.

ОК⊥  ВС, так ОК - расстояние от центра основания конуса до образующей ВС.

Δ ОКВ - прямоугольный , ∠ ОВК =30 °. По свойству катета, лежащего напротив угла в 30 °, гипотенуза ОВ  в 2 раза больше катета ОК.

Значит,

$OB= 2\cdot 3 =6$ cм.

Высота конуса ОВ= 6 см .

Найдем ВК по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

$BK^{2} =BO^{2} -OK^{2} ;\\BK= \sqrt{BO^{2} -OK^{2} } ;\\BK= \sqrt{6^{2} -3^{2} } =\sqrt{36-9} =\sqrt{27} =\sqrt{9\cdot3} =3\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе есть среднее геометрическое между отрезками, на которые делится гипотенуза основанием высоты .

Значит,

$OK= \sqrt{BK\cdot KC } ;\\3=\sqrt{3\sqrt{3}\cdot KC } ;\\9=3\sqrt{3}\cdot KC;\\KC= \dfrac{9}{3\sqrt{3} } =\dfrac{3}{\sqrt{3} } =\sqrt{3}$  см.

Тогда гипотенуза, которая является образующей будет равна

$BC= BK+KC;\\BC =3\sqrt{3} +\sqrt{3} =4\sqrt{3}$ см.

Образующая $l=4\sqrt{3}$ см

В Δ ОКС  - прямоугольном найдем ОС  по теореме Пифагора

ОС - радиус основания конуса .

$OC=R ;\\OC= \sqrt{OK^{2} +KC^{2} } ;\\OC= \sqrt{3^{2} +(\sqrt{3})^{2} } =\sqrt{9+3} =\sqrt{12} =\sqrt{4\cdot3} =2\sqrt{3}$

$R=2\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности конуса найдем по формуле

$S=\pi Rl,$ где  

R- радиус основания конуса

$l-$ образующая конуса.

$S= \pi \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} =\pi \cdot8\cdot 3=24\pi$  см².

Можно конечно найти радиус и образующую и проще. После найденной высоты ВО= 6 см

Рассмотрим Δ ВОС прямоугольный.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется  отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

$tg30^{0} =\dfrac{OC}{OB } ;\\\\\dfrac{1}{\sqrt{3} } =\dfrac{OC}{6 } ;\\\\OC= \dfrac{1\cdot6}{\sqrt{3} } =\dfrac{6}{\sqrt{3} } =\dfrac{6\sqrt{3} }{3} =2\sqrt{3}$

Значит, радиус основания конуса равен 2√3 см.

Найдем образующую конуса по теореме Пифагора

$BC^{2} =BO^{2} +OC^{2} ;\\ BC =\sqrt{BO^{2} +OC^{2}} ;\\BC= \sqrt{6^{2} +(2\sqrt{3} )^{2} } =\sqrt{36+12} =\sqrt{48} =\sqrt{16\cdot3} =4\sqrt{3}$

Образующая конуса равна 4√3 см.

Answer 2

Problem Analysis

We are given the following information about a cone: - The distance from the center of the base of the cone to the slant height is 3 cm. - The angle between the height and the slant height of the cone is 30 degrees.

We need to find the height of the cone and the lateral surface area of the cone.

Solution

To find the height of the cone, we can use trigonometry. Let's denote the height of the cone as h and the slant height as l.

Using trigonometry, we can write the following equation: sin(30 degrees) = h / l

Simplifying the equation, we have: h = l * sin(30 degrees)

To find the lateral surface area of the cone, we need to know the slant height and the circumference of the base. However, we are not given the circumference of the base in the problem statement. Therefore, we cannot calculate the lateral surface area without additional information.

Calculation

Let's calculate the height of the cone using the given information.

Given: - The distance from the center of the base of the cone to the slant height is 3 cm. - The angle between the height and the slant height of the cone is 30 degrees.

Using the equation h = l * sin(30 degrees), we can substitute the values: h = 3 cm * sin(30 degrees)

Using a calculator, we find that sin(30 degrees) = 0.5.

Substituting the value, we have: h = 3 cm * 0.5 = 1.5 cm

Therefore, the height of the cone is 1.5 cm.

Answer

Based on the given information, the height of the cone is 1.5 cm. However, we cannot calculate the lateral surface area of the cone without knowing the circumference of the base.