Question

Підсумкова контрольна робота. Різниця довжини ребер двох кубів дорівнює 1 см, різниця їх об'ємів 91 кубічний см. Знайдіть відношення Довжин ребер даних кубів.

Answer 1

Дано:

a₁ - a₂ = 1 см;

V₁ - V₂ = 91 см³.

Знайти:

$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}$ — ?

                                              Розв'язання:

Виразимо довжину ребра другого куба через довжину ребра першого куба:

a₂  = a₁ - 1.

Об'єм куба дорівнює кубу його ребра, тож:

$V_1 = a_1^{\ 3};$

$V_2 = a_2^{\ 3} = (a_1 - 1)^3.$

Так як різниця об'ємів дорівнює 91, маємо таке рівняння:

$a_1^{\ 3} - (a_1 - 1)^3 = 91$.

Скористаємося формулою куба різниці:

$a_1^{\ 3} - (a_1^{\ 3}-3a_1^{\ 2}+3a_1- 1)^3 = 91$.

Так як перед дужками стоїть знак "мінус", то знаки доданків в дужках мають змінитися на протилежні.

$a_1^{\ 3} - a_1^{\ 3}+3 a_1^{\ 2}-3a_1+1 = 91$;

$3 a_1^{\ 2}-3a_1+1 -91 = 0$;

$3 a_1^{\ 2}-3a_1-90 = 0$  | :3

$a_1^{\ 2}-a_1-30 = 0$.

Розв'яжемо отримане квадратне рівняння через дискримінант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121.$

$a _1 = \frac{-b \±\sqrt{D} }{2a} = \frac{1\±11}{2}$.

Маємо два корені рівняння: a₁ = 6 та a₁ = -5.

Другий варіант не підходить, бо довжина не може бути від'ємним числом.

Значит, a₁ = 6.

a₂  = a₁ - 1 = 6 - 1 = 5.

$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}= \frac{6}{5} .$

Відповідь: відношення довжин ребер даних кубів дорівнює $\displaystyle \frac{6}{5}$.

Answer 2

Щоб знайти відношення довжин ребер даних кубів, спочатку визначимо довжини ребер кожного куба.

Позначимо довжину ребра першого куба як а, а довжину ребра другого куба як b.

За умовою задачі, різниця довжин ребер двох кубів дорівнює 1 см, тому ми маємо наступне рівняння:

b - a = 1

Також, різниця об'ємів двох кубів дорівнює 91 кубічний см. Об'єм куба визначається як довжина ребра, піднесена до кубу. Тому ми маємо наступне рівняння:

b^3 - a^3 = 91

Тепер ми маємо систему рівнянь, яку можна вирішити для знаходження значень a і b.

Розв'язання системи рівнянь:

З першого рівняння виразимо b:

b = a + 1

Підставимо це значення в друге рівняння:

(a + 1)^3 - a^3 = 91

Розкриємо куби:

(a^3 + 3a^2 + 3a + 1) - a^3 = 91

Скоротимо подібні терміни:

3a^2 + 3a + 1 = 91

3a^2 + 3a - 90 = 0

Розділимо на 3:

a^2 + a - 30 = 0

Розкладемо на множники:

(a + 6)(a - 5) = 0

Отримуємо два розв'язки:

a + 6 = 0 або a - 5 = 0

a = -6 або a = 5

Якщо a = -6, то b = -6 + 1 = -5. Однак, довжина ребра куба не може бути від'ємною, тому відкидаємо цей варіант.

Якщо a = 5, то b = 5 + 1 = 6.

Таким чином, довжина ребра першого куба (a) дорівнює 5 см, а довжина ребра другого куба (b) дорівнює 6 см.

Відношення довжин ребер даних кубів:

Відношення довжин ребер двох кубів дорівнює:

b/a = 6/5

Отже, відношення довжин ребер даних кубів є 6/5.