Question

В треугольнике ABC отмечена точка K, в которой сторона AC пересекается с серединным перпендикуляром к стороне AB. Оказалось, что AK=BC+CK. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Answer 1

Точка K на серединном перпендикуляре к AB, следовательно равноудалена от концов отрезка, AK=BK.

Тогда по условию BK=BC+CK.

В треугольнике BCK сумма двух сторон равна третьей стороне - треугольник вырожденный, точки B-C-K лежат на одной прямой.

(Или можно сказать, что расстояние между конечными точками ломаной B-C-K равно длине ломаной => ломаная вырожденная, точки B-C-K на одной прямой.)

По условию точка K лежит на отрезке AC. Несовпадающие прямые AC и BC могут иметь только одну общую точку, следовательно точки K и С совпадают.

Тогда вершина С лежит на серединном перпендикуляре к основанию AB, AC=BC, △ABC - равнобедренный.

Answer 2

Для начала заметим, что из условия AK=BC+CK следует, что точка K является серединой стороны AC. Теперь обратим внимание на серединный перпендикуляр к стороне AB, который проходит через точку K. Поскольку K является серединой стороны AC, то серединный перпендикуляр также будет проходить через середину стороны AC.

Таким образом, мы имеем два равных отрезка: AK=CK и BK=KC. Из этого следует, что треугольник ABC является равнобедренным, так как у него две равные стороны (AB и AC) и угол между ними (угол B) также будет равен. Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC является равнобедренным.