Question

Окружность вписанная в прямоугольный треугольник точкой касания делит гипотенузу на отрезки разность которых 7 см а сумма 13 см найди радиус вписанной окружности.

Answer 1

Ответ:

2 см

Объяснение:

Смотрите рисунок.

Обозначим x и y части, на которые точка P делит гипотенузу.

Радиусы OM и ON отрезают на катетах такие же отрезки x и y.

По условию:

{ y - x = 7

{ y + x = 13

Складываем уравнения:

2y = 20

Отсюда y = 10 см, x = 3 см.

Из теоремы Пифагора:

BC^2 + AC^2 = AB^2

(r + y)^2 + (r + x)^2 = (x + y)^2

(r + 10)^2 + (r + 3)^2 = 13^2

r^2 + 20r + 100 + r^2 + 6r + 9 = 169

2r^2 + 26r = 60

Делим всё на 2:

r^2 + 13r - 30 = 0

D = 13^2 - 4*1(-30) = 169 + 120 = 289 = 17^2

r1 = (-13 - 17)/2 = -30/2 = -15 < 0 - не подходит.

r2 = (-13 + 17)/2 = 4/2 = 2 см - подходит.

Answer 2

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна c, а катеты равны a и b. Также пусть радиус вписанной окружности равен r.

Так как окружность вписана в треугольник, то точка касания окружности с гипотенузой делит её на два отрезка, длины которых равны a-r и b-r.

Из условия задачи мы знаем, что разность этих отрезков равна 7, то есть |a - b| = 7, и их сумма равна 13, то есть a + b = 13.

Так как треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора c^2 = a^2 + b^2.

Теперь мы можем составить систему уравнений: |a - b| = 7, a + b = 13, c^2 = a^2 + b^2.

Из второго уравнения найдем выражение для одного из катетов: a = 13 - b. Подставим его в третье уравнение: c^2 = (13 - b)^2 + b^2.

Теперь подставим это выражение в первое уравнение: |(13 - b) - b| = 7. Решив это уравнение, получим два возможных значения для b: 3 и 10.

Если b = 3, то a = 10. Подставим эти значения в уравнение для радиуса вписанной окружности: r = (a + b - c)/2. Таким образом, мы можем найти радиус вписанной окружности, подставив известные значения a, b и c.

Если b = 10, то a = 3. Подставим эти значения в уравнение для радиуса вписанной окружности и найдем соответствующий радиус.

Таким образом, мы можем найти радиус вписанной окружности, решив данную систему уравнений и выбрав подходящие значения для радиуса.