Question

У рівнобедреному прямокутному трикутнику, площа якого 32 см², через середину гіпотенузи провели відрізки, паралельні катетам. Доведіть, що утворений чотирикутник – квадрат та знайдіть його площу.​

Answer 1

Ответ:

Площадь квадрата АНКЕ равна 16 см².

Объяснение:

В равнобедренном прямоугольном треугольнике, площадь которого 32 см², через середину гипотенузы провели отрезки, параллельные катетам. Докажите, что образованный четырехугольник - квадрат и найдите его площадь.​

Дано: ΔАВС - равнобедренный прямоугольный треугольник.

ВК = КС;

КЕ || АВ; КН || АС.

S(ABC) = 32 см².

Доказать: АНКЕ - квадрат,

Найти: S(АНКЕ).

Доказательство:

1. КЕ || АВ; КН || АС;

АВ ⊥ АС;

• Если отрезок перпендикулярен одной из параллельных прямых, то он перпендикулярен и к другой прямой.

⇒ КЕ ⊥ АС; КН ⊥ АВ.

• Четырехугольник, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

⇒ АНКЕ - прямоугольник.

2. Рассмотрим АВС - равнобедренный, прямоугольный.

⇒ АВ = АС

ВК = КС (условие)

КЕ || АВ (условие)

• Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

⇒ КЕ - средняя линия.

КН || АС

⇒ КН - средняя линия.

• Средняя линия равна половине длины стороны, которую она не пересекает.

⇒ $\displaystyle KE = \frac{1}{2}AB;\;\;\;\;\;KH=\frac{1}{2}AC}$

Так как АВ = АС, то КЕ = КН.

• Противоположные стороны прямоугольника равны.

⇒ КЕ = КН = АН = АЕ.

• Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.

⇒ АНКЕ - квадрат.

Решение:

3. Найдем катеты ΔАВС.

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Пусть АВ = АС = а см

$\displaystyle S(ABC)=\frac{1}{2}a^2\\\\32=\frac{1}{2}a^2\\ \\a^2=64\\\\a=8\;_{(CM)}$

⇒ КЕ = КН = АН = АЕ = 8 : 2 = 4 (см)

• Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

S (АНКЕ) = 4² = 16 (см²)

Площадь квадрата АНКЕ равна 16 см².

Answer 2

To solve this problem, let's break it down step by step.

Given information:

We have a right-angled triangle with an area of 32 cm². The triangle is isosceles, meaning it has two equal sides. We are also told that segments parallel to the legs are drawn through the midpoint of the hypotenuse.

Step 1: Finding the lengths of the sides of the triangle:

Let's assume the legs of the triangle have lengths a and b, and the hypotenuse has length c. Since the triangle is isosceles, we have a = b.

The area of a triangle can be calculated using the formula: Area = (1/2) * base * height. In this case, the base is a and the height is b. So we can write the equation as: 32 = (1/2) * a * b.

Step 2: Solving for the lengths of the sides:

From the equation above, we can substitute a for b since they are equal: 32 = (1/2) * a * a.

Simplifying the equation, we get: 64 = a².

Taking the square root of both sides, we find: a = b = √64 = 8.

So the lengths of the legs of the triangle are both 8 cm, and the length of the hypotenuse is c = √(a² + b²) = √(8² + 8²) = √128 = 8√2.

Step 3: Finding the length of the segments parallel to the legs:

Since the segments are parallel to the legs, they divide the hypotenuse into three equal parts. Let's call the length of each segment x.

Therefore, the length of the hypotenuse can be expressed as: c = 3x.

Step 4: Proving that the quadrilateral formed is a square:

To prove that the quadrilateral formed by the segments is a square, we need to show that all four angles are right angles and that all sides are equal.

Since the segments are parallel to the legs, they divide the hypotenuse into three equal parts. This means that each segment is equal to c/3.

Now, let's consider the quadrilateral formed by connecting the endpoints of the segments. We have two pairs of congruent sides: the legs of the triangle and the segments parallel to the legs.

Since the legs of the triangle are congruent, the opposite sides of the quadrilateral are congruent.

Since the segments parallel to the legs are congruent, the adjacent sides of the quadrilateral are congruent.

Therefore, all four sides of the quadrilateral are congruent, and we have a quadrilateral with four congruent sides, which is a square.

Step 5: Finding the area of the square:

To find the area of the square, we need to find the length of one side and then square it.

Since the length of each side of the square is equal to c/3, the area of the square can be calculated as: Area = (c/3)².

Substituting the value of c we found earlier, we get: Area = (8√2/3)² = (64/3) cm².

Therefore, the area of the square formed by the quadrilateral is 64/3 cm².

In conclusion, we have shown that the quadrilateral formed by the segments parallel to the legs of the isosceles right-angled triangle is a square, and its area is 64/3 cm².