Question

Угол B , который лежит напротив основы AC равнобедренного треугольника , равен 120° , CD- бисектриса этого треугольника и AD=18 см.Найти расстояние от пункта D да прямой BC

Answer 1

Ответ:

Расстояние от D до прямой ВС равно 9 см.

Объяснение:

Пусть дан равнобедренный треугольник Δ АВС , ∠В =120°,

АС- основание треугольника. Боковые стороны АВ= ВС.

Пусть боковые стороны будут равны  по х см (х >0). Тогда найдем основание АС по теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$AC ^{2} =AB^{2} +BC ^{2} -2\cdot AB\cdot AC \cdot cos D;\\AC ^{2} =x^{2} +x ^{2} -2\cdot x\cdot x \cdot cos 120^{0}=x^{2} +x^{2} -2x^{2} \cdot(-0,5)=x^{2} +x^{2}+ x^{2} =3x^{2} ;\\AC= \sqrt{3x^{2} } =x\sqrt{3}$

В треугольнике проведена биссектриса СD. Воспользуемся свойством биссектрисы: биссектриса треугольнике делит сторону треугольника на отрезки пропорциональные  прилежащим сторонам

Тогда

$\dfrac{AC}{AD} =\dfrac{BC}{BD }$

AD =18 см . Если АВ =х см, то ВD=х -18.

$\dfrac{x\sqrt{3} }{18} =\dfrac{x}{x-18 };\\\\\dfrac{\sqrt{3} }{18} =\dfrac{1}{x-18 };\\\\x-18=\dfrac{18}{\sqrt{3} } ;\\\\x-18=6\sqrt{3} ;\\\\x=18+6\sqrt{3}$

Найдем  BD

$BD =18+6\sqrt{3} -18 =6\sqrt{3}$ см.

∠АВС и ∠  DВН смежные, их сумма равна 180 °.

Тогда ∠  DВН=180° - 120° =60°.

Рассмотрим Δ ВНD - прямоугольный, так как  DН - расстояние от  D до прямой ВС.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе

$sin 60^{0} =\dfrac{DH}{BD } ; \\\\DH= BD \cdot sin 60^{0} ;\\\\DH= 6\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} =\dfrac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2} =\dfrac{6\cdot3}{2} =3\cdot3=9$

Значит, расстояние от D до прямой ВС равно 9 см.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства равнобедренного треугольника, а также теорему синусов. Давайте начнем с рисунка, где AB и AC - стороны равнобедренного треугольника, а D - точка на основании треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла, лежащего напротив основания, делит этот угол на два равных угла.

Теорема синусов

В треугольнике со сторонами a, b, c и углами α, β, γ, соответственно противолежащими сторонам, теорема синусов утверждает, что отношения сторон к синусам их противолежащих углов одинаково для всех углов треугольника. Формула теоремы синусов: a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ).

Решение

По условию, угол BAC равен 120°, CD - биссектриса этого треугольника, и AD = 18 см.

Так как CD - биссектриса угла BAC, то угол BCD = угол ACD = 60° (половина угла BAC).

Теперь мы можем использовать теорему синусов для нахождения расстояния от точки D до прямой BC. Обозначим это расстояние как h.

Для удобства обозначим AC = AB = a и BC = b.

Теперь мы можем составить уравнение на основе теоремы синусов: sin(60°) = h / a.

Так как у нас есть равнобедренный треугольник, то a = b, следовательно: sin(60°) = h / b.

Теперь нам нужно найти длину стороны BC. Для этого воспользуемся теоремой косинусов: b^2 = a^2 + a^2 - 2 * a * a * cos(120°).

Теперь мы можем найти длину стороны BC и затем подставить ее в уравнение для нахождения h.

После нахождения b мы сможем найти h, что будет расстоянием от точки D до прямой BC.