Question

треугольнике ABC пересекаются биссектрисы ∡A и ∡B. Точка пересечения K соединена с третьей вершиной C. Определи ∡BCK, если ∡AKB=115°.

Answer 1

Ответ:

25

Объяснение:

Р-м треугольник BKA: в нём сумма углов равна 180, значит сумма углов KAB+KBA=180-115=65. Но т.к. BK, AK - биссектрисы, то KAB=0,5CAB; KBA=0,5CBA, а значит CBA+CAB=2(KAB+KBA)=130. В треугольнике ABC CBA+CAB+BCA=180, значит BCA=50. Осталось понять, что CK - биссектриса(т.к. все биссектрисы пересекаются в одной точке, каждая биссектриса выходит из вершины треугольника, то CK - отрезок, соединяющий вершину с точкой пересечения биссектрис и есть отрезок биссектрисы). Значит BCK=0,5BCA=25.

Answer 2

Чтобы определить угол BCK, мы можем воспользоваться следующими свойствами биссектрис треугольника:

1. Биссектриса угла делит противолежащую сторону на две отрезка, пропорциональных остальным двум сторонам треугольника.
2. Биссектрисы углов, исходящих из одной и той же вершины, пересекаются в одной точке.

Из условия известно, что угол AKB равен 115°. Пусть точка пересечения биссектрис будет называться M.

Так как биссектрисы пересекаются, мы можем сказать, что AM и BM являются биссектрисами углов ∠A и ∠B соответственно.

Также известно, что AM пересекает сторону BC в точке K. По свойству 1, мы можем сказать, что отношение отрезков BK и KC равно отношению сторон AB и AC.

Пусть отношение BK к KC равно p:q (где p и q - некоторые положительные числа). Тогда отношение AB к AC также будет p:q.

Теперь мы можем записать соотношение отношений длин сторон треугольника:

AB/AC = BK/KC = p/q.

Мы знаем, что AB/AC = p/q. Из этого следует, что AB = p * AC / q.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник AMB. У него стороны AM и BM являются биссектрисами углов, и сторона AB делится биссектрисой AM в соотношении p:q.

Поэтому мы можем сказать, что ∠AMB = 90° + (∠B/2).

Известно, что ∠AKB = 115°. Тогда ∠AMB = 180° - 115° = 65°.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник BCK. У него сторона BM также является биссектрисой угла ∠B. Значит, ∠BCK = ∠CBM/2.

Так как ∠AMB = 65°, то ∠CBM = 180° - 65° = 115°.

Теперь мы можем найти ∠BCK:

∠BCK = ∠CBM/2 = 115°/2 = 57.5°.

Таким образом, угол BCK равен 57.5°.