Question

Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей и точка пересечения боковых сторон лежат на одной прямой.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

  ABCD - довільна трапеція . Спочатку покажемо , що на одній

  одній прямій лежать середини основ і точка перетину

  продовжень бічних сторін трапеції . Позначимо буквою Е точку

  перетину прямих AB  i  CD ( біч. сторін трапеції ) ,  F - середину

  верхньої основи  і покажемо , що пряма EF  перетинає основу

  AD  в її середині К . На рисунку ΔBEF ∼ ΔAEK ,  ΔCEF ∼ ΔDEK .

  Складаємо і прирівнюємо подібні сторони : BF/AK = EF/EK  ( із 1 - ї

  пари подіб. тр - ників ) ;  CF/DK = EF/EK    ( із 1 - ї   пари подіб.

  тр - ників ) . Так як BF = CF , то AK = DK .

         Тепер проведемо пряму через точку F  i  точку О перетину

  діагоналей  трапеції . Тоді ΔBOF ∼ ΔDOL  , ΔCOF ∼ ΔAOL ,

  значить , BF/DL = OF/OL  ;  FC/AL = OF/OL ⇒ BF/DL = FC/AL .

   Так як BF = FC , то AL = DL .  Доведено .

Answer 2

Для доказательства этого факта рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD - основания, AD и BC - боковые стороны, и E - точка пересечения диагоналей AC и BD.

Пусть F и G - середины оснований AB и CD соответственно. Нам нужно доказать, что точки F, G и E лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники ADE и CBE.

1. В треугольнике ADE:

   • Отрезок AF является медианой, и точка F является серединой основания AB. Таким образом, AF делит сторону DE пополам.
   • Отрезок GD является медианой, и точка G является серединой основания CD. Таким образом, GD делит сторону AE пополам.
   • Так как F и G являются серединами оснований AB и CD соответственно, то отрезки AF и GD имеют равные длины.
   • Таким образом, AF = GD.

2. В треугольнике CBE:

   • Отрезок BF является медианой, и точка F является серединой основания AB. Таким образом, BF делит сторону CE пополам.
   • Отрезок GE является медианой, и точка G является серединой основания CD. Таким образом, GE делит сторону CB пополам.
   • Так как F и G являются серединами оснований AB и CD соответственно, то отрезки BF и GE имеют равные длины.
   • Таким образом, BF = GE.

Из пунктов 1 и 2 следует, что AF = GD = BF = GE.

Теперь рассмотрим треугольник FGE:

• Отрезок FG соединяет точки F и G, которые являются серединами оснований AB и CD.
• Отрезок FE является диагональю AC, и E является точкой их пересечения.

Из равенств AF = GD и BF = GE следует, что треугольники AFE и GDE являются равнобедренными треугольниками.

Таким образом, в треугольнике FGE две стороны AFE и GDE равны, а значит, угол FEG равен углу GEF.

Из этого следует, что отрезок FG, который соединяет середины оснований трапеции, и отрезок FE, являющийся диагональю, л