Question

Из вершины В равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) к его плоскости проведен перпендикуляр ВМ. Точка К – середина стороны АС. Чему равна длина отрезка МК, если МС = 20 см; а угол СМК равен 60°? А) 10 см; Б) 10 см; В) 20 см; Г) определить невозможно

Answer 1

Ответ:

ΔАВС равнобедренный, АВ=ВС ,  ВМ ⊥ АВС ,  АК=КС   ⇒  точка К - середина стороны АС  и ВК - медиана, которая одновременно является высотой в равнобедренном треугольнике , значит ВК ⊥ АС ,  ∠ВКС=90° .  МС=20 см .

Проведена МК . В треугольнике АМС она является медианой , так как по условию АК=КС .

МК также является высотой в ΔАМС, так как по теореме о трёх перпендикулярах  МК - наклонная, ВК - её проекция на плоскость АВС, причём ВК ⊥ АС, значит и наклонная МК будет перпендикуляр-

на АС ,  МК ⊥ АС  ⇒  ΔМКС - прямоугольный, по условию

∠СМК=60° , значит  ∠ВСК=90°-60°=30° .

Катет МК, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, поэтому  МК=20:2=10 (см) .

Ответ:  Б)  МК=10 см .

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать свойство средней линии треугольника.

Средняя линия треугольника соединяет середину одной стороны треугольника с вершиной противоположной стороны. В данном случае, линия МК является средней линией треугольника АСВ, так как К - середина стороны АС, а В - вершина противоположной стороны.

Свойство средней линии гласит, что ее длина равна половине длины соответствующей стороны треугольника. Таким образом, МК = (1/2) * АС.

У нас дано, что МС = 20 см, а угол СМК равен 60°. Треугольник СМК - прямоугольный, так как перпендикуляр проведенный из вершины треугольника к его плоскости образует прямой угол.

Используем тригонометрический закон синусов для нахождения длины стороны СК:

sin(60°) = МС / СК sin(60°) = 20 / СК

СК = 20 / sin(60°) = 20 / (√3 / 2) = 40 / √3 = (40 * √3) / 3 ≈ 23.09 см.

Так как К - середина стороны АС, то МК = (1/2) * АС = (1/2) * СК = (1/2) * 23.09 ≈ 11.55 см.

Ответ: В) 20 см.