Question

C - медиана прямоугольного треугольника, а O - центр вписанной окружности. AC = 3, BC = 4. Найти угол AOB. Найти площадь треугольника AOB.

Answer 1

Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис.

△ABC: A/2 +B/2 +C/2 =90°

△AOB: A/2 +B/2 +∠AOB =180°

=> ∠AOB =90° +C/2

Доказали:

В любом треугольнике угол между биссектрисами равен 90° + половина третьего угла.

∠AOB =90° +C/2 =90°+45° =135°

Проведем радиусы OK=OL=ON=r в точки касания. Они перпендикулярны касательным и являются высотами в треугольниках AOB, BOC, AOC.

S(ABC) =S(AOB)+S(BOC)+S(AOC) =1/2 r (AB+BC+AC) =pr (p-полупериметр)

Доказали: S△=pr

S(ABC) =3*4/2 =6

p(ABC)=(3+4+5)/2 =6

S=pr => r=1

S(AOB) =1/2 AB*OK =5/2 =2.5

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников и свойства вписанных окружностей.

Сначала найдем длину гипотенузы треугольника ABC, используя теорему Пифагора:

AB^2 = AC^2 + BC^2 AB^2 = 3^2 + 4^2 AB^2 = 9 + 16 AB^2 = 25 AB = 5

Теперь найдем радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности равен половине периметра треугольника, деленному на полупериметр:

r = (AC + BC + AB) / 2 r = (3 + 4 + 5) / 2 r = 6 / 2 r = 3

Так как O - центр вписанной окружности, то AO, BO и CO являются радиусами этой окружности и равны r = 3.

Теперь у нас есть все необходимые данные для решения задачи. Рассмотрим треугольник AOB. Угол AOB является центральным углом, соответствующим дуге AB окружности с радиусом 3. Вписанный угол, соответствующий этой дуге, равен половине центрального угла.

Таким образом, угол AOB равен половине центрального угла, соответствующего дуге AB, а также половине угла BAC (поскольку треугольник ABC прямоугольный).

Угол BAC можно найти с помощью тригонометрических функций. Поскольку AC является противоположной стороной прямого угла, мы можем использовать синус:

sin(BAC) = AC / AB sin(BAC) = 3 / 5 BAC = arcsin(3 / 5) BAC ≈ 36.87°

Теперь мы можем найти угол AOB:

AOB = (1/2) * (BAC + центральный угол AB) AOB = (1/2) * (36.87° + 2 * 36.87°) AOB = (1/2) * (36.87° + 73.74°) AOB = (1/2) * 110.61° AOB ≈ 55.31°

Чтобы найти площадь треугольника AOB, мы можем использовать формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь AOB = (1/2) * AO * BO * sin(AOB) Площадь AOB