Question

Один з катетів прямокутного трикутника менший від другого катета на 3см, а від гіпотенузи - на 6см. Знайти периметр цього трикутника.

Answer 1

Обозначим длину меньшего катета через x , тогда длина большего катета (x + 3) см , а длина гипотенузы (x + 6) см .

По теореме Пифагора составим и решим уравнение :

$\displaystyle\bf\\x^{2} +(x+3)^{2} =(x+6)^{2} \\\\x^{2} +x^{2} +6x+9=x^{2} +12x+36\\\\2x^{2} +6x+9-x^{2} -12x-36=0\\\\x^{2} -6x-27=0\\\\D=(-6)^{2} -4\cdot (-27)=36+108=144=12^{2} \\\\\\x_{1} =\frac{6+12}{2} =9\\\\\\x_{2} =\frac{6-12}{2} =-3 < 0-neyd$

Длина меньшего катета равна 9 см , длина большего катета равна

9 + 3 = 12 см , длина гипотенузы равна 9 + 6 = 15 см .

Значит периметр треугольника равен :

$\displaystyle\bf\\P=9+12+15=36 \ cm$

Answer 2

Нехай x позначає довжину меншого катета в сантиметрах.

За умовою задачі, інший катет буде довжиною x + 3 см, а гіпотенуза буде довжиною x + 6 см.

Застосуємо теорему Піфагора, щоб знайти значення x:

x^2 + (x + 3)^2 = (x + 6)^2

Розкриваємо дужки:

x^2 + x^2 + 6x + 9 = x^2 + 12x + 36

Зводимо подібні члени:

x^2 - 6x - 27 = 0

Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою факторизації, повного квадрату або за допомогою квадратного кореня. У цьому випадку ми використаємо квадратний корінь:

x = (-(-6) ± √((-6)^2 - 4 * 1 * (-27))) / (2 * 1)

x = (6 ± √(36 + 108)) / 2

x = (6 ± √144) / 2

x = (6 ± 12) / 2

Розділимо на 2:

x = 3 ± 6

Таким чином, отримуємо два можливих значення для x: 3 і 9.

Якщо x = 3, то довжина другого катета буде x + 3 = 3 + 3 = 6, а гіпотенузи x + 6 = 3 + 6 = 9.

Якщо x = 9, то довжина другого катета буде x + 3 = 9 + 3 = 12, а гіпотенузи x + 6 = 9 + 6 = 15.

Отже, є два можливих трикутника з такими довжинами сторін:

1. Сторони: 3 см, 6 см, 9 см.
2. Сторони: 9 см, 12 см, 15 см.

Для обчислення периметра обидвох трикутників потрібно просто додати довжини всіх сторін.

1. Периметр першого трикутника: 3 см + 6 см + 9 см = 18 см.
2. Периметр другого трикутника: 9 см + 12 см + 15 см = 36 см.

Отже, периметр першого трикутника дорівнює 18 см, а периметр друг