Question

Бічне ребро і висота правильної чотирьохкутної піраміди дорівнює відповідно 12 і 4 см. У піраміду вписано куб так, що його чотири вершини лежать на основі піраміди,а чотири - на апофемах піраміди. Знайти ребро куба (с рисунком)

Answer 1

Правильная пирамида, вершина падает в центр основания.

OA =√(SA^2-SO^2) =√(12^2-4^2) =8√2

SF - апофема (высота/медиана боковой грани), OF=8

Из симметрии следует, что пирамида и куб имеют общую ось.

Высота SO проходит через центры оснований куба O и O1.

EE1=x (ребро куба)

OE=O1E1=x/√2 (половина диагонали основания куба)

SO/OF =SO1/O1E1 =>

4/8 =(4-x)/ x/√2 => x =8√2/(1+2√2) =8(4-√2)/7 (см)

Answer 2

Щоб знайти ребро куба, вписаного в правильну чотирикутну піраміду, спочатку розглянемо схематичне зображення.

javascriptCopy code
           A _______ B
           /         /
          /         /
         /         /
     C  /_________ D

Уявімо собі правильну чотирикутну піраміду ABCD, де AB = BC = CD = DA = 12 см. Нехай E буде серединою ребра AD.

javascriptCopy code
          A _______ B
          /         /
         /         /
        /    E    /
   C   /_________ D

Оскільки правильна чотирикутна піраміда ABCD - правильна, ребра AE, BE, CE, DE - це апофеми піраміди. Апофема - це відрізок, що з'єднує вершину піраміди з серединою бічного ребра. Тому EB = 12 см (половина ребра піраміди) і EC = ED = 6 см (половина бічного ребра піраміди).

Також відомо, що куб вписаний в піраміду таким чином, що його чотири вершини лежать на основі піраміди (ABCD) і чотири вершини - на апофемах піраміди (EB, EC, ED).

javascriptCopy code
           A _______ B
           /         /
          /    F    /
         /         /
     C  /_________ D
     |____E____|

Зазначимо F як вершину куба, яка лежить на апофемі EB.

Тепер ми можемо знайти ребро куба, використовуючи теорему Піфагора в трикутнику EFB:

EF^2 = EB^2 + BF^2

Знаємо, що EB = 12 см, а також відомо, що FB = EC = 6 см (половина бічного ребра піраміди).

EF^2 = (12 см)^2 + (6 см)^2 EF^2 = 144 см^2 + 36 см^2 EF^2 = 180 см^2

Тепер знайдемо EF:

EF = √180 см EF ≈ 13.416 см

Отже, ребро куба, вписаного в правильну чотирикутну піраміду, дорівнює приблизно 13.416 см.