Question

Визначте косинус кута між векторами, a = 3m + n i b = m -2n, m i n перпеедикулярні, |m| = |n| = 1

Answer 1

Ответ:

Косинус кута между двумя векторами равен скалярному произведению векторов, деленному на произведение их модулей:

cos(a, b) = (a * b) / (|a| * |b|)

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих компонент:

a * b = (3m + n) * (m -2n) = 3m^2 - 6mn + mn = 3m^2 - 5mn

Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его компонент:

|a| = sqrt((3m)^2 + n^2) = sqrt(9m^2 + 1)

|b| = sqrt((m)^2 + (-2n)^2) = sqrt(m^2 + 4n^2)

Таким образом, косинус кута между векторами a и b равен:

cos(a, b) = (3m^2 - 5mn) / (sqrt(9m^2 + 1) * sqrt(m^2 + 4n^2))

Answer 2

Для визначення косинуса кута між векторами a і b спочатку потрібно обчислити їх скалярний добуток і довжини векторів.

Скалярний добуток векторів a і b обчислюється за формулою:

a · b = (3m + n) · (m - 2n)

Для обчислення цього виразу розкриємо дужки і застосуємо правила скалярного множення векторів:

a · b = 3m · m + 3m · (-2n) + n · m + n · (-2n)

Так як вектори m і n є перпендикулярними, то їх скалярний добуток дорівнює 0:

a · b = 3m · m + n · m

За умовою |m| = |n| = 1, тому можемо записати:

m · m = |m|^2 = 1^2 = 1

n · m = |n||m|cosθ = 1 * 1 * cosθ = cosθ, де θ - кут між векторами m і n

Таким чином, скалярний добуток a · b стає:

a · b = 3 * 1 + cosθ

Тепер, для обчислення довжин векторів a і b, використовуємо їхні складові:

|a| = |3m + n| = sqrt((3)^2 + 1^2) = sqrt(9 + 1) = sqrt(10)

|b| = |m - 2n| = sqrt(1^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 4) = sqrt(5)

Запишемо косинус кута між a і b:

cosθ = (a · b) / (|a| * |b|) = (3 + cosθ) / (sqrt(10) * sqrt(5))

Тепер спростимо вираз:

cosθ * sqrt(10) * sqrt(5) = 3 + cosθ

sqrt(10) * sqrt(5) * cosθ - cosθ = 3

(cosθ) * (sqrt(10) * sqrt(5) - 1) = 3

cosθ = 3 / (sqrt(10) * sqrt(5) - 1)

Таким чином, косинус кута між векторами a і b дорівнює 3 / (sqrt(10) * sqrt(5) - 1).